12. f(x) = / (3x?-6x-1) dx olduğuna göre, f(x) = y

YKS TYT
1
  1. f(x) = / (3x?-6x-1) dx olduğuna göre, f(x) = y fonksiyonunun ekstremum noktalarıinın apsisleri toplamı kaçtır? A) -2 B) 2 C) 1 D) -1 E) 3

Resim
Resim780×326 14.2 KB

2

f(x) = \int (3x^2 - 6x - 1) \, dx fonksiyonunun ekstremum noktalarının apsisleri toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. İntegral ve Türev İlişkisi: Bir fonksiyonun integralinin türevi, integralin içindeki fonksiyona (integranda) eşittir.
    \frac{d}{dx} \left( \int g(x) \, dx \right) = g(x)
  2. Ekstremum Noktaları: Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu (f'(x) = 0) ve işaret değiştirdiği noktalardır.
  3. Kökler Toplamı (Viete Formülü): ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} formülü ile bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Bulma
Verilen f(x) = \int (3x^2 - 6x - 1) \, dx ifadesinin her iki yanının türevini alalım. İntegral ve türev birbirinin tersi olduğu için sağ taraftaki integral sembolü ve dx kalkar:
f'(x) = 3x^2 - 6x - 1

Adım 2 — Ekstremum Noktalarını Belirleme
Ekstremum noktalarını bulmak için türevi sıfıra eşitlememiz gerekir:
3x^2 - 6x - 1 = 0

Adım 3 — Apsisler Toplamını Hesaplama
Bu denklem 2. dereceden bir denklemdir. Bizden ekstremum noktalarının apsisleri (yani bu denklemin kökleri) toplamı isteniyor. Denklemi tek tek çözmek yerine doğrudan kökler toplamı formülünü uygulayalım:
a = 3, b = -6, c = -1
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{3}
x_1 + x_2 = \frac{6}{3} = 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Belirsiz İntegral Türevi

  • Tanım: Bir ifadenin önce integrali sonra türevi alınırsa sonuç ifadenin kendisine eşittir.
  • Bu problemde: f(x) bir integral olarak tanımlandığı için ekstremum bulmak için ihtiyaç duyduğumuz f'(x) doğrudan parantez içindeki ifadedir.

2. Ekstremum Noktası

  • Tanım: Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçtiği noktalardır.
  • Bu problemde: f'(x) = 0 denkleminin kökleri bu geçiş noktalarını (apsisleri) verir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İntegral Hesabına Girmek

  • Yanlış: Önce integral alıp x^3 - 3x^2 - x + C bulup sonra tekrar türev almak zaman kaybıdır.
  • Doğru: Türev ve integralin birbirini götürdüğünü bilerek doğrudan f'(x)'i yazmak en hızlı yoldur.
  • Neden: Ekstremum sorulduğu için bize zaten türev fonksiyonu lazımdır.

Bu fonksiyonun ikinci türevini alarak dönüm (büküm) noktasını da bulmamı ister misin?