12. \(\displaystyle \frac{\sin2x + \cos2x + 1}{\sin x + \cos x}\) kesrinin en sade hâli hangisidir?

YKS TYT
1

image
image654×270 19.1 KB

2

Trigonometrik Kesirin En Sade Hali Nedir?

Önemli Noktalar

  • Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel ve çift açı formülleri kullanılır
  • Pay ve payda arasındaki trigonometrik ifadeler sadeleştirilir
  • Sonuç, trigonometrik fonksiyon veya sabit bir sayı olabilir

Verilen kesirde:

\frac{\sin 2x + \cos 2x +1}{\sin x + \cos x}

ifadesinin sade hali, temel trigonometrik özdeşliklerin kullanılmasıyla bulunur.

İçindekiler

  1. Verilen İfadenin Analizi ve Özdeşlikler
  2. Sadeleştirme Adımları
  3. Sonuç ve Doğru Seçenek
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Verilen İfadenin Analizi ve Özdeşlikler

İfade:

\frac{\sin 2x + \cos 2x + 1}{\sin x + \cos x}

Temel trigonometrik formüller:

  • \sin 2x = 2 \sin x \cos x
  • \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x -1 = 1 - 2 \sin^2 x (çeşitli şekillerde yazılabilir)

:light_bulb: Pro Tip: Sadeleştirmek için paydaki ifadeyi sin ve cos cinsinden açmak genellikle en hızlı yoldur.

Sadeleştirme Adımları

  1. Pay kısmını açalım:
\sin 2x + \cos 2x + 1 = 2 \sin x \cos x + \cos 2x + 1
  1. \cos 2x'in 2 \cos^2 x - 1 hali:
= 2 \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 1) + 1 = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x
  1. Şimdi pay:
2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 2 \cos x (\sin x + \cos x)
  1. Paydadaki ifade:
\sin x + \cos x
  1. Kesri yazalım:
\frac{2 \cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x}
  1. (\sin x + \cos x) sadeleşir ve kalan:
2 \cos x

Sonuç ve Doğru Seçenek

Kesirin sade hali:
2 \cos x

Doğru seçenek B) 2cosx’dir.

Özet Tablo

İşlem Adımı Açıklama Sonuç
Pay açılım \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \cos 2x = 2 \cos^2 x -1 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x
Paydaki ortak çarpan Ortak çarpan 2 \cos x alınır 2 \cos x (\sin x + \cos x)
Payda ile sadeleştirme Payda \sin x + \cos x ile sadeleşir 2 \cos x

Sık Sorulan Sorular

1. Neden \cos 2x ifadesini 2 \cos^2 x -1 olarak yazdık?
Bu form, pay ve paydadaki terimlerin ortak çarpanlarını fark etmek için kullanışlıdır ve sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

2. Diğer \cos 2x formülleri neden uygun değil?
Bazı durumlarda diğer formüller de işe yarar ancak bu problemde en hızlı sonuç veren form 2 \cos^2 x -1'dir.

3. Paydada sıfır olma durumu için ne yapmalıyız?
\sin x + \cos x = 0 noktaları ifade tanımsızdır. Bu açıların çözüme dahil olmadığı varsayılır.

Sonraki Adımlar

Başka trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve eşdeğer formüllerle ilgili örnekler ister misiniz?
Ya da trigonometrik fonksiyonların grafik yorumlarını öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

12. (\displaystyle \frac{\sin2x + \cos2x + 1}{\sin x + \cos x}) kesrinin en sade hâli hangisidir?

Önemli Notlar

  • İki Kat Açı Formülleri: (\sin2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos2x = \cos^2x - \sin^2x)
  • Pitagor Bağıntısı: (\sin^2x + \cos^2x = 1)
  • Ortak Çarpan Parantezi: İfadeyi (2\cos x) faktörü ile açığa çıkarma

Kesrin sadeleştirilmiş hâli (2\cos x) olduğu için doğru şık B şıkkıdır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alternatif Yöntem
  3. Seçenek Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Sinüs ve kosinüsün iki kat açı hâllerini kullan:
    [
    \sin2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos2x = \cos^2x - \sin^2x.
    ]
  2. Payı düzenle:
    [
    \sin2x + \cos2x + 1
    = 2\sin x\cos x + (\cos^2x - \sin^2x) + 1.
    ]
  3. Pitagor bağıntısını ekleyerek (\cos^2x - \sin^2x +1) ifadesini sadeleştir:
    [
    \cos^2x - \sin^2x + 1
    = (\cos^2x - \sin^2x) + (\sin^2x + \cos^2x)
    = 2\cos^2x.
    ]
  4. Pay artık
    [
    2\sin x\cos x + 2\cos^2x = 2\cos x,(\sin x + \cos x).
    ]
  5. Bölme işlemi:
    [
    \frac{2\cos x,(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = 2\cos x.
    ]

Sonuç: (2\cos x).

2. Alternatif Yöntem

  • (\sin2x+\cos2x) toplamını dönüşüm formülü ile şöyle ele alabilirsiniz:
    [
    \sin2x+\cos2x = \sqrt2\sin!\bigl(2x+\tfrac\pi4\bigr),
    ]
    fakat buradan ilerlemek, payda ile sadeleştirme yerine trigonometrik faz kaydırma gerektirdiğinden ilk yöntem daha pratiktir.

3. Seçenek Karşılaştırma Tablosu

Şık İfade Doğru mu?
A (\sec x) Hayır
B (2\cos x) Evet
C (2\sin x) Hayır
D (\tan x) Hayır
E (1) Hayır

4. Özet Tablosu

Adım İşlem
1. İki kat açı (\sin2x = 2\sin x\cos x,; \cos2x = \cos^2x-\sin^2x)
2. Pay düzenle (\sin2x+\cos2x+1 = 2\sin x\cos x + (\cos^2x-\sin^2x)+1)
3. Faktörleme (\cos^2x-\sin^2x+1 = 2\cos^2x) → Pay: (2\cos x(\sin x+\cos x))
4. Bölme (\dfrac{2\cos x(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x} = 2\cos x) (B şıkkı)

5. SSS

S1. Sinüsün iki kat açı formülü neden (2\sin x\cos x) biçiminde?
C: Birim çember ve trigonometrik toplam-fark formüllerinden çıkar.

S2. (\cos^2x - \sin^2x + 1) ifadesi nasıl (2\cos^2x) olur?
C: (\sin^2x+\cos^2x=1) bağıntısını kullanarak.

S3. Alternatif yöntem olarak hangi trigonometrik dönüşümler tercih edilmez?
C: Faz kaydırmalı dönüştürmeler, sadeleştirme için gereksiz karmaşıklık katar.

S4. Payda (\sin x+\cos x) yerine başka bir ifade yazılabilir mi?
C: (\sqrt2\sin(x+\tfrac\pi4)) yazılabilir, ancak sadeleştirme uzar.

Soruyu daha da pekiştirmek için 2 kat açı formüllerini içeren 3 pratik soru ister misiniz?
@Abdurrahman2134