Utanma: 2016 LYS Matematik Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilen eşitsizlik: 1 < a < b - a < 5 (a, b tam sayıları)
- Amaç: b’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulmak
- Problem tam sayı çözümü ve eşitsizlik analizini içerir
- Adım adım çözümle doğru tam sayı aralıkları tespit edilir
İçindekiler
Problemin Analizi
Verilen eşitsizlik şudur:
Burada, a ve b tam sayılar ve eşitsizlik zinciri 1 < a < b-a < 5 şeklinde sıralı.
Eşitsizliği parçalayıp inceleyelim:
- 1 < a —> a > 1
- a < b - a —> b - a > a —> b > 2a
- b - a < 5 —> b < a + 5
Tüm bu şartları dikkate alarak a,b tam sayılarının aralıklarını bulmamız gerekiyor.
Adım Adım Çözüm
- İlk eşitsizlik:
- ikinci eşitsizlik:
- üçüncü eşitsizlik:
Bunları bir arada düşünelim:
Şimdi, a’nın alabileceği tam sayı değerlerine bakarak b’nin olası değerlerini bulalım.
a = 2 için:
Yani,
a = 3 için:
Buradan:
a = 4 için:
Yani,
a = 5 için:
Burada b hem 10’dan büyük hem de 10’dan küçük olamaz, çelişki var.
a > 5 için:
Bu durumda
a > 5 ile çelişkili.
Sonuç:
Yukarıdaki aralıklar dikkate alındığında, sadece a = 2 ve a = 3 için b’nin tam sayı alabileceği değerler bulunur.
b değerlerinin toplamı:
- a=2 \rightarrow b = \{5,6\}, toplam: 5 + 6 = 11
- a=3 \rightarrow b = \{7\}, toplam: 7
Genel toplam:
Özet ve Sonuç
| a | b değerleri | Toplam b |
|---|---|---|
| 2 | 5, 6 | 11 |
| 3 | 7 | 7 |
Toplam = 18
Doğru cevap E) 18’dir.
Sık Sorulan Sorular
1. Neden a=4 veya daha büyük değerler için çözüm yok?
Çünkü b için verilen eşitsizliklar birlikte tutarsız hale gelir. Yani, b hem 2a’dan büyük hem de a+5’den küçük olmalıdır; a büyüdükçe bu aralık daralır ve tam sayı çözüm kalmaz.
2. Eşitsizlik zinciri nasıl çözülebilir?
Eşitsizlik zinciri, sıralı karşılaştırmalar yapılarak ve her eşitsizlik ayrı ayrı ele alınarak çözülür.
3. Aynı problem reel sayılar için olsa ne olur?
Reel sayılar için çözüm kümesi daha geniş olur ancak soru tam sayı koşulu içerdiğinden bu durum geçerli olmaz.
Sonraki Adımlar
Böyle sayı doğrusu üzerinde eşitsizlik problemlerini çözerken, eşitsizlik zincirlerini parçalara ayırarak ve mümkün olan aralıkları kontrol ederek ilerlemek faydalıdır. İstersen, bu tür eşitsizliklerin grafiksel çözüm yöntemlerini detaylı gösterebilirim veya benzer örneklerle pratik yapabiliriz.
Senin için nasıl yardımcı olayım?
12. a ve b tam sayıları 1 < a < b − a < 5 eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, b’nin alabileceği değerlerinin toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Eşitsizlikten üç koşul elde edilir:
- 1 < a ⇒ a \ge 2
- a < b - a ⇒ b > 2a
- b - a < 5 ⇒ b < a + 5
- Bu üçlemeden birleşik koşul 2a < b < a + 5 olur.
- Tamsayılar için yalnızca b=5,6,7 çözümleri geçerli; toplamları 18.
b’nin alabileceği değerlerin toplamı 18’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Başlangıç eşitsizliği:1 < a < b - a < 5
- Ayrı ayrı ele alalım:
- 1 < a ⇒ a \ge 2
- a < b - a ⇒ b > 2a
- b - a < 5 ⇒ b < a + 5
- Birleştirirsek:2a < b < a + 5
- Şimdi a için tamsayı değerleri deneyelim:
- a = 2 ⇒ 4 < b < 7 ⇒ b = 5, 6
- a = 3 ⇒ 6 < b < 8 ⇒ b = 7
- a \ge 4 durumunda 2a + 1 > a + 4 olur; geçerli b kalmaz.
- Bulunan b değerleri: 5, 6, 7
Toplam: 5 + 6 + 7 = 18
Özet Tablosu
| a | Geçerli b değerleri |
|---|---|
| 2 | 5, 6 |
| 3 | 7 |
b değerleri toplamı: 5 + 6 + 7 = 18
SSS
-
a hangi tam sayıları alabilir?
Yanıt: Eşitsizlikten a \ge 2 ve deneme ile a = 2, 3 bulunur. -
b için genel çözüm aralığı nasıl elde edilir?
Yanıt: a < b - a ve b - a < 5 koşullarından 2a < b < a + 5 sonucu çıkar. -
Neden a \ge 4 için geçerli b değeri kalmaz?
Yanıt: a = 4 için 2a + 1 = 9 > a + 4 = 8 olduğundan hiçbir tam sayı b sağlamaz. -
b değerlerinin toplamı nasıl bulunur?
Yanıt: Geçerli b’leri toplayarak (5 + 6 + 7) elde edilir.
Bu yöntemi kullanarak benzer bir problemin çözümünü görmek ister misiniz?