12.a ve b asal sayılar olmak üzere,
•ab değeri, a ve b’nin kuvvetlerinin çarpımı
olarak yazılabilecek en küçük üç basamaklı doğal
sayı
sayi est
olarak tanımlanıyor.
Örnek:
B7-3.70 =81
37-3.7 = 147
Buna göre,
3]
-2B
işleminin sonucu kaçtır?
A) 22
B) 29
C) 35
D) 42
E) 47
Asal Sayı Kuvvetleri ile Tanımlanan İşlemin Sonucu
KULLANILAN FORMÜL / TANIM:
Bu soruda iki farklı sembol tanımlanmıştır:
- Üstü çizgili kutu (Tek çizgi): a^x \cdot b^y şeklinde yazılabilecek en büyük iki basamaklı doğal sayı.
- Altı çizgili kutu (Çift çizgi): a^x \cdot b^y şeklinde yazılabilecek en küçük üç basamaklı doğal sayı.
(Burada a ve b tabandaki asal sayılar; x ve y ise negatif olmayan tam sayılardır.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \overline{\boxed{3}\boxed{5}} Değerini Hesaplayalım
Tanıma göre 3 ve 5 asallarının kuvvetlerini kullanarak yazılabilecek en büyük iki basamaklı sayıyı bulmalıyız.
- 3^4 \cdot 5^0 = 81 \cdot 1 = 81
- 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45
- 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75
- 3^0 \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25
99’dan küçük en büyük değer 81’dir.
Adım 2 — \underline{\underline{\boxed{2}\boxed{3}}} Değerini Hesaplayalım
Tanıma göre 2 ve 3 asallarının kuvvetlerini kullanarak yazılabilecek en küçük üç basamaklı sayıyı bulmalıyız.
- 2^7 = 128
- 2^6 \cdot 3^0 = 64 (İki basamaklı, olmaz)
- 2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96 (İki basamaklı, olmaz)
- 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144
- 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108
- 2^0 \cdot 3^5 = 1 \cdot 243 = 243
100 veya daha büyük olan en küçük değer 108’dir.
Adım 3 — İşlemi Sonuçlandıralım
Soruda bizden bu iki değerin farkı isteniyor:
\underline{\underline{\boxed{2}\boxed{3}}} - \overline{\boxed{3}\boxed{5}}
(Not: Görseldeki işlem sırasına göre çıkarma işlemi yapılır)
108 - 81 = 27
Ancak görseldeki ifadeyi tekrar kontrol ettiğimizde; \underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} - \overline{\boxed{2}\boxed{3}} sırasıyla sormuş olabilir. Görseldeki altı ve üstü çizgili kutulara dikkat edelim:
- \underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} (3 ve 5 ile en küçük 3 basamaklı): 3^1 \cdot 5^2 = 75 (olmaz), 3^2 \cdot 5^2 = 225, 3^4 \cdot 5^0 = 81 (olmaz), 3^3 \cdot 5^1 = 135. En küçük 135.
- \overline{\boxed{2}\boxed{3}} (2 ve 3 ile en büyük 2 basamaklı): 2^5 \cdot 3^1 = 96. En büyük 96.
- 135 - 96 = 39 (Şıklarda yok).
Doğru Okuma ve Kontrol:
Görseldeki altı çizgili ilk terim \underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} ve üstü çizgili ikinci terim \overline{\boxed{2}\boxed{3}} şeklindedir.
- \underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} \Rightarrow 3^1 \cdot 7^2 = 147 örneğindeki gibi, burada 3^3 \cdot 5^1 = 135 veya 3^1 \cdot 5^2 = 75 (olmaz), 5^3=125. En küçük 3 basamaklı: 125 (5^3 \cdot 3^0).
- \overline{\boxed{2}\boxed{3}} \Rightarrow 2^6 = 64, 2^5 \cdot 3 = 96, 2^4 \cdot 3^2 = 144 (olmaz). En büyük 2 basamaklı: 96.
- 125 - 96 = 29.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Sayı Kuvvetleri
- Tanım: Bir sayının sadece kendisi ve 1 ile bölünebilen (2, 3, 5, 7…) sayıların üsleri alınarak çarpılmasıdır.
- Bu problemde: Belirlenmiş iki asal sayının farklı kuvvet kombinasyonlarını deneyerek sınır değerlere (en büyük iki basamaklı veya en küçük üç basamaklı) ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Tek Bir Sayının Kuvvetini Almak
- Yanlış: Sadece 3^x değerine bakıp 5^y değerini unutmak.
- Doğru: Her iki asal sayının da kuvvetlerini (0 dahil) kombine ederek deneme yapmalısınız.
- Neden: Tanım “a ve b’nin kuvvetlerinin çarpımı” dediği için a^0 veya b^0 kullanımı da geçerlidir.
Bu tür “en küçük üç basamaklı” sorularında sayıları birbirine yakın seçmek genellikle sonucu küçültür. Başka bir sayı grubu için benzer bir deneme yapmamı ister misin?
3 ve 5 ün kuvvetlerini çarpımı olarak yazılabilecek en küçük üç basamaklı doğal sayıyı bulman gerek diğeri de tam tersi
Asal Sayı Kuvvetleri ile Tanımlanan İşlemin Sonucu
KULLANILAN FORMÜL / TANIM:
Bu soruda kutuların üzerindeki ve altındaki çizgiler farklı matematiksel işlemleri temsil eder:
- Üstü çizgili kutu (\overline{\text{ab}}): a ve b asallarının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabilecek en büyük iki basamaklı doğal sayı.
- Altı çizgili kutu (\underline{\underline{\text{ab}}}): a ve b asallarının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabilecek en küçük üç basamaklı doğal sayı.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} Değerini Hesaplayalım
Tanıma göre 3 ve 5 asallarının kuvvetlerini (3^x \cdot 5^y) kullanarak yazılabilecek en küçük üç basamaklı sayıyı bulmalıyız (x, y \geq 0):
- 3^3 \cdot 5^1 = 27 \cdot 5 = 135
- 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 (İki basamaklı, olmaz)
- 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225
- 3^0 \cdot 5^3 = 1 \cdot 125 = 125
- 3^4 \cdot 5^0 = 81 (İki basamaklı, olmaz)
- 3^5 \cdot 5^0 = 243
100 ve üzeri olan en küçük değer 125’tir (5^3 \cdot 3^0).
Adım 2 — \overline{\boxed{2}\boxed{3}} Değerini Hesaplayalım
Tanıma göre 2 ve 3 asallarının kuvvetlerini (2^x \cdot 3^y) kullanarak yazılabilecek en büyük iki basamaklı sayıyı bulmalıyız:
- 2^6 \cdot 3^0 = 64
- 2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96
- 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 (Üç basamaklı, olmaz)
- 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 (Üç basamaklı, olmaz)
- 2^0 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81
99’dan küçük veya eşit olan en büyük değer 96’dır.
Adım 3 — Çıkarma İşlemini Yapalım
Bulduğumuz değerleri yerine koyarak sonucu hesaplayalım:
\underline{\underline{\boxed{3}\boxed{5}}} - \overline{\boxed{2}\boxed{3}}
125 - 96 = 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Sayı Kuvvetleri Çarpımı
- Tanım: Bir tamsayının p_1^{a} \cdot p_2^{b} formunda ifade edilmesidir. Burada kuvvetler (a, b) sıfır olabilir; bu durumda asallardan biri işleme dahil edilmemiş olur (örneğin 5^3 \cdot 3^0 = 125).
- Bu problemde: İstenen basamak sınırına (99 veya 100) en yakın kuvvet kombinasyonlarını deneme-yanılma yoluyla tespit ettik.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıfırıncı Kuvveti Unutmak
- Yanlış: Sadece hem a hem de b çarpanının bulunduğu sayılara bakmak.
- Doğru: 3^0=1 veya 5^0=1 gibi durumları mutlaka değerlendirmelisiniz.
- Neden: Tanım “kuvvetlerinin çarpımı” dediği için kuvvetlerin 0 olması matematiksel olarak bu kuralı bozmaz.
Bu çözümde kullandığımız yöntemle, a=2 ve b=5 asalları için en küçük üç basamaklı sayıyı bulmamı ister misin?