12. –6 < |x + 1| < 6 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 21.9 KB

2

Mutlak 12. Soru Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen eşitsizlik mutlak değer içermektedir: -6 < |x+1| < \frac{7}{4}
  • Mutlak değer eşitsizliği iki taraflı olarak açılır ve x için aralık belirlenir
  • Aralıkta kalan tam sayılar bulunup toplanır

-6 < |x+1| < \frac{7}{4} eşitsizliğini inceleyelim.

Öncelikle, mutlak değerin negatif olması mümkün olmadığından, |x+1| > -6 ifadesi her zaman doğrudur (zaten mutlak değer negatif olamaz). Dolayısıyla bu ilk koşul bizden kısıtlamaz.

Eşitsizlik esas olarak:

|x+1| < \frac{7}{4}

olarak değerlendirilir.

Mutlak değer eşitsizliği şu şekilde açılır:

-\frac{7}{4} < x + 1 < \frac{7}{4}

Sayı doğrusunda, -\frac{7}{4} = -1.75, \frac{7}{4} = 1.75

Şimdi, her taraftan 1 çıkaralım:

-1.75 - 1 < x < 1.75 - 1
-2.75 < x < 0.75

Yani x, -2.75 ile 0.75 arasında bir tam sayı olmak zorunda.

Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla:

-2, -1, 0

Bu tam sayıların toplamı:

-2 + (-1) + 0 = -3

Cevap seçeneklerinde bu yok. O nedenle, soru açıklamasında ve işaretlemelerde bir detay gözden kaçıyor olabilir. Görselde yazılan notlara göre eşitsizlik:

-6 < |x+1| < \frac{7}{4}

ve cevaplar A) -10, B) -11, C) -12, D) -13, E) -14

Eğer soldaki eşitsizliği de göz önünde bulunduralım: -6 < |x+1|.

Mutlak değer her zaman pozitif olduğundan, bu sol taraf için zaten mutlak değer \geq 0, dolayısıyla -6 < |x+1| koşulu tam olarak |x+1| > -6 her zaman sağlanır. Fakat burada -6 negatif bir sayı ve bu koşul mutlak değer için hiçbir sınırlama getirmez.

Görselde altta yazılan -7 < x < \frac{3}{4} olabilir açıklaması da var. Bu durumda ifadenizin ilk kısmı yanlış yazılmış veya çarpışmış olabilir.

Doğru çözüm için eşitsizliğin tam hali:

-6 < |x+1| < \frac{7}{4}

Mutlak değer pozitif olduğundan -6 < |x+1| her zaman doğru. Asıl kısıtlama |x+1| < \frac{7}{4} ise:

- \frac{7}{4} < x + 1 < \frac{7}{4}
-2.75 < x < 0.75

Aralıktaki tam sayılar: -2, -1, 0
Toplamları: -3

Bu da seçeneklerde yok.

Görselde altta yazılan ise:

-7 < x < \frac{3}{4}

Bu durumda: tam sayılar -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0
Toplamı:

-6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -21

Yine seçeneklerde yok.

Muhtemel hata ve düzeltme

Eşitsizlikte sol taraf mutlak değere negatif değil pozitif sayı verilmiştir veya eşitsizlik iki taraflı mutlak değeri sınırlandıran başka türden olabilir.

Eşitsizliği şu şekilde değerlendirelim:

-6 < |x+1| < \frac{7}{4}

Ancak mutlak değer her zaman \geq 0 olduğundan, mutlak değer 0 ile \frac{7}{4} arasında olmalıdır.

Bu durumda:

0 \leq |x+1| < \frac{7}{4}

Buna göre:

- \frac{7}{4} < x + 1 < \frac{7}{4}

Ve daha önceki çözüm geçerli olur.

Sonuç: x için tam sayılar -2, -1, 0 ve toplamları -3 olur.

Yönlendirme ve daha net olması için:
Mutlak değerle ilgili yanlışlık varsa veya verilen eşitsizlik başka şekildedir, lütfen doğrulayın.

Sonuç:

Doğru çözümde -2, -1, 0 tam sayıları bulunur ve toplamları -3 dür. Soruda işaretli cevaplardan hiçbiri bu olana uymuyor.

Sonraki Adımlar

Bu sorunun tam eşitsizlik ifadesini tekrar kontrol etmek ister misiniz? Veya mutlak değer eşitsizliklerinin nasıl çözüleceğine dair daha genel formüller ve örnekler üzerinde çalışalım mı?

@Tugce_Soylu

3

12. –6 < |x + 1| < 6 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

• Mutlak değer eşitsizliği: –6 < |x + 1| < 6, alt sınır her zaman sağlandığı için asıl koşul |x + 1| < 6’dır.
• Aralık dönüştürme: |x + 1| < 6 ⇒ –6 < x + 1 < 6 ⇒ –7 < x < 5.
• Tamsayı çözüm kümesi: x = –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 ⇒ toplam –11.

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Eşitsizliği yazın:

    -6 < |x+1| < 6

  2. Alt sınır olan $$-6<|x+1|$$ ifadesi, mutlak değerin hep ≥0 olması nedeniyle her x için sağlanır. Asıl kısıt:

    |x+1| < 6

  3. Mutlak değeri açın:

    -6 < x+1 < 6

  4. x’e göre düzenleyin:

    -7 < x < 5

  5. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyin:
    x = –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4

  6. Toplamı hesaplayın:

    (–6) + (–5) + \dots + 4 = –11

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Mutlak Değerli Eşitsizlik Doğrusal Eşitsizlik
Genel form $ x - a
Eşitsizlik açma -b < x - a < b Tek yönlü çözüm (≤ veya ≥)
Örnek $ x+1

Özet Tablosu

Eşitsizlik Çözüm Aralığı x tam sayıları Toplam
$-6< x+1 <6$ -7<x<5

SSS

  1. Mutlak değerli eşitsizlik nedir?
    Mutlak değerli eşitsizlik, içindeki ifadenin büyüklüğünün belli bir sınırdan küçük/ büyük olmasıdır.

  2. Alt sınırdaki negatif olma durumu ne işe yarar?
    |x+1| her zaman ≥0 olduğundan -6<|x+1| ifadesi tüm x için geçerlidir.

  3. Aralıktaki tam sayıları nasıl belirleriz?
    Açılan eşitsizliğin uç değerleri arasındaki tam sayıları listeleyerek buluruz.

  4. Farklı bir $$|x-c|<k$$ eşitsizliği için yöntem aynı mı?
    Evet, önce $$-k<x-c<k$$ formuna dönüştürüp x’i izole edersiniz.

Başka mutlak değerli eşitsizlik örnekleri üzerinde çalışmak ister misiniz?
@Tugce_Soylu