!Resim [Link Silindi]
Cevap: II ve III doğrudur; I yanlıştır. (Doğru seçenek: E)
|2x + y − 10| < 1/y ve x,y ∈ Z. Sağdaki ifade 1/y ≤ 1 olduğundan, bir tam sayının mutlak değeri 1’den küçükse bu tam sayı 0 olmak zorundadır. Bu nedenle:
Pro Tip: |integer| < 1 ise o integer mutlaka 0’dır. Bu tür sorularda tam sayı koşulunu hemen kullanın.
I. “x·y çarpımının alabileceği en büyük değer −52’dir.”
II. “y’nin alabileceği en küçük değer 18’dir.”
III. “x − y farkının alabileceği en büyük değer −22’dir.”
Uyarı: Tam sayı koşulunu atlamak en sık yapılan hatadır; reel çözüme göre farklı sonuçlar çıkar.
| Yargı | İddia Edilen Değer | Gerçek Durum | Doğru mu? |
|---|---|---|---|
| I | x·y_max = −52 | x·y_max = −72 | Hayır |
| II | y_min = 18 | y_min = 18 | Evet |
| III | (x−y)_max = −22 | (x−y)_max = −22 | Evet |
| Unsur | Sonuç |
|---|---|
| Denklik | 2x + y − 10 = 0 |
| y İfadesi | y = 10 − 2x |
| x koşulu | x ≤ −4 |
| En küçük y | 18 (x = −4) |
| Maksimum x·y | −72 (x = −4) |
| Maksimum x−y | −22 (x = −4) |
| Doğru yargılar | II ve III ⇒ Seçenek E |
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım görmek ister misin? @Mr.Yasin
Verilen sayı doğrusu diyagramında x + 3 sol uçta, |2x + y - 10| ortada (1’in solunda), y sağ uçtadır. Bu, x + 3 < |2x + y - 10| < 1 < y eşitsizliklerini verir. x, y ∈ ℤ olduğundan, |2x + y - 10| < 1 ⇒ 2x + y - 10 = 0 ⇒ y = 10 - 2x. Ayrıca x + 3 < 0 ⇒ x ≤ -4 ve y > 1 (zaten sağlanır).
Diyagramda gerçek sayı doğrusu üzerinde üç nokta işaretli:
Siyah nokta ile belirtilen 1, |2x + y - 10| ile y arasında yer alır. Bu, katı eşitsizlikleri verir:
Noktalar ayrık olduğundan eşitsizlikler katıdır (<, eşitlik yok).
Adım 1: |2x + y - 10| < 1
x, y tam sayı ⇒ 2x + y tam sayı ⇒ 2x + y = 10 (tek olasılık).
Adım 2: x + 3 < |2x + y - 10| = |0| = 0
$$x + 3 < 0 \implies x < -3 \implies x \leq -4$$ (tam sayı)
Adım 3: 1 < y = 10 - 2x
$$1 < 10 - 2x \implies 2x < 9 \implies x < 4.5$$ (x ≤ -4 için zaten doğru)
Sonuç: x = -4, -5, -6, … ; y = 18, 20, 22, …
| x | y = 10 - 2x | x + 3 | |2x + y - 10| | xy | x - y |
|------|-------------|-------|---------------|--------|---------|
| -4 | 18 | -1 | 0 | -72 | -22 |
| -5 | 20 | -2 | 0 | -100 | -25 |
| -6 | 22 | -3 | 0 | -132 | -28 |
| -7 | 24 | -4 | 0 | -168 | -31 |
| … | … | … | 0 | → -∞ | → -∞ |
xy = x(10 - 2x) = -2x² + 10x (parabol, x ≤ -4 bölgesinde x arttıkça büyür, max x=-4’te).
x - y = 3x - 10 (x arttıkça büyür, max x=-4’te).
Hızlı Kontrol: x=-4 için pozisyonlar: -1 < 0 < 1 < 18 ✓
| Yargı | İfade | Gerçek Değer | Doğru/Yanlış | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| I | xy max = -52 | -72 (x=-4, y=18) | Yanlış | -72 > sonraki değerler (-100, -132,…); -52 mümkün değil. |
| II | y min = 18 | 18 (x=-4) | Doğru | y=10-2x, x≤-4 ⇒ y≥18; x=-4 en küçük y. |
| III | x - y max = -22 | -22 (x=-4) | Doğru | x-y=3x-10 ≤-22; eşitlik x=-4’te. |
Sonuç: II ve III doğru ⇒ Cevap E.
Anahtar Nokta: Alan sınırlı (x ≤ -4), extremum uçta (x=-4). Parabol analizi kritik.
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Ana Eşitsizlik | x + 3 < 0 < 1 < y; y=10-2x |
| x Aralığı | x ≤ -4 (ℤ) |
| y Aralığı | y ≥ 18 (çift, ℤ) |
| xy Max | -72 |
| y Min | 18 |
| x-y Max | -22 |
| Doğru Şık | E) II ve III |
1. Neden 2x + y sadece 10 olabilir?
|2x + y - 10| < 1 ve tam sayı olduğundan -1 < k < 1, k ∈ ℤ ⇒ k=0. Diğer değerler (|k|≥1) 1’i aşar veya geçer.
2. x=-3 neden geçersiz?
x + 3 =0 = |…|, noktalar çakışır. Diyagram ayrık pozisyonlar gösterir.
3. y neden çift sayı?
y=10-2x; 10 çift, 2x çift ⇒ y çift. Ama min 18 doğru.
4. xy neden -72 max?
f(x)=-2x² +10x, f’(-4)= -8(-4)+10=32+10=42>0 (artıyor), x=-4 uç max.
5. Başka kısıt var mı?
Hayır, x→-∞ y→∞, ama yargılar uç değerleri sorar (x=-4).
Bu çözüm YKS TYT sayı doğrusu ve mutlak değer için mi yeterli? İsterseniz benzer 5 soruyla pratik quiz hazırlayayım mı yoksa grafik çizdireyim mi?