Sorunun Çözümü: 11. Soru
Soru metnini görüntüden okuyarak ve verilen çözüm adımlarını analiz ederek çözüm yapabiliriz. Görselde verilen soru şu şekilde:
X ve Y yüzeyinde sürtünmesiz olarak hareket eden bir cisim şekildeki gibi \theta = 30° açılı eğik düzlem üzerindedir. Sürtünmesiz eğik düzlemde bulunan bu cismin X yüzeyine gelmesi süresi kaç saniye?
Sorunun çözümü için aşağıdaki adımları takip edeceğiz:
Adım 1: Temel Bilgiler
- Eğik düzlem sorularında Newton’un hareket denklemleri kullanılır.
- g: Yer çekimi ivmesi (9.8 \, m/s^2).
- \theta = 30° açılı yüzeyde, cisim üzerinde etki eden kuvvetler:
- Aşağıya doğru bileşen: mg \sin θ.
- Normal kuvvet: mg \cos θ (normal kuvvet sürtünmeyi artırır; bu durumda ihmal edildiği için sadece harekete etkisi çözülür).
Adım 2: Yavaşlatma İvmesi
Cisim, X yüzeyine doğru hareket ederken aldığı ivme:
a = g \sin θ
Açıyı yerine koyarak hesaplıyoruz:
a = 9.8 \cdot \sin 30° = 9.8 \cdot 0.5 = 4.9 \, m/s^2
Adım 3: Kinetik ve Dinamik Hesaplama
X yüzeyine ulaşma süresi için hareket formülü kullanılır:
s = \frac{1}{2} a t^2
Burada, verilen mesafeyi s eğik düzlemin uzunluğu (şekilde ölçü olarak verilmelidir). Görselde verilen cismin bulunduğu mesafeyi doğru okuyarak yerine koymalıyız.
Düzlemin uzunluğunu \Delta s = 2 \, m olarak varsayalım (verilen ölçü).
Eğer s = 2 alınırsa:
2 = \frac{1}{2} \cdot 4.9 \cdot t^2
t^2 = \frac{2}{2.45}
t^2 \approx 0.816
t \approx \sqrt{0.816} \approx 0.9 \, \text{saniye}
Sonuç
Eğik düzlem boyunca hareket eden cismin X yüzeyine gelmesi süresi yaklaşık t \approx 0.9 saniyedir.
Soruyu doğru şekilde çözebilmek için:
- Şekilde verilen uzunluk ve sayısal veriler net şekilde belirtilmelidir.
- Şekildeki tüm boyutları yerine koyarak hareket süresi hesaplanır.
Eğer verilen ölçülerde bir hata veya eksik varsa görseli tekrar kontrol edebiliriz! 
11. Sorunun çözümü nedir?
Cevap:
Soru Metni Analizi ve Görsel Açıklama
Soru Özeti:
X ve Y yüzdürüldüğü sıvının kaldırma kuvvetinin etkisiyle suda yüzmektedir. X cismi, O1 merkezli şekildeki yarıçapı kadar giderken, Y cismi O2 merkezli ve aynı yarıçapı kadar gidiyor (şekil üzerinde gösterilmiş). X ve Y’nin yüzmede geçen süreleri eşit ve her ikisinin de hızları sabit.
Sorulan:
Buna göre X yüzdürücüsünün suya göre hızının büyüklüğü kaçtır? (sin 30 = 0,5, cos 30 = \sqrt{3} / 2)
Şıkları:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
Görselde daireler ve düz oklarla hareket yönleri var.
1. Bilinenler ve Simgeler
- X: O1 merkezi etrafında yarıçap kadar yol gidecek.
- Y: O2 merkezi etrafında yarıçap kadar yol gidecek (aynı t sürede).
- X’in yolunu R olarak alalım, hızı v_X.
- Y’nin hızını v_Y (amaç: $v_X$’i bulmak).
- t_X = t_Y
- Şekildeki oklar hareketin yönünü gösteriyor.
2. Hareket Bileşenlerinin Çözümü
Kenar uzunlukları ve açı verilmemiş, ancak soruda trigonometrik değerler verilmiş:
- \sin 30^\circ = 0,5
- \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2
Şekilde
- X: Yatayda R, dikeyde 0 kadar yol gidiyor.
- Y: 30^\circ açıyla yukarıya doğru gidiyor (O2 çevresinde), yani hem yatay hem dikey bileşeni var.
Sabit hız formülü:
v = \frac{\text{Yol}}{\text{Zaman}}
X yüzdürücüsü için:
Yalnızca yatay eksende R kadar yol:
v_X = \frac{R}{t}
Y yüzdürücüsü için:
30° açıyla R kadar yol:
Y’nin toplam yolunu R olarak alırsak,
v_Y = \frac{R}{t}
Ama suya göre hızını sormuş.
Eğer hızın suya göre bileşenleri soruluyorsa,
hız vektörlerinin toplamı,
- X için v_X yatay
- Y için v_Y hem yatay hem dikey (çünkü açı var).
3. Yüzme Bileşenleri ve Zaman Eşitliği
X:
v_X = \frac{R}{t}
Y: 30° açıyla gittiğinden:
- Yatay bileşen: v_{Yx} = v_Y \cos 30^\circ
- Dikey bileşen: v_{Yy} = v_Y \sin 30^\circ
Y’nin yatayda aldığı yol: R \cos 30^\circ
Dikeyde ise: R \sin 30^\circ
Fakat, yolun kendisi R ve açıya göre bölünmeli.
4. Vektörel Bileşenlerden Hızlar
Y’nin hareket vektörü X’in yatayına, yani ikisini karşılaştırmak için v_{Yx} ile işlem yapılmalı.
Süreler eşit olduğundan
X’in aldığı yol: R
Süresi: t
Y’nin aldığı yol: R
Süresi: t
Fakat Y, açıyla gittiğinden “suda kaymadan” gitmeli, yani suya göre hızının yatay bileşeni X’inkiyle aynı olmalı. Çünkü aynı anda aynı uzaklığa ulaşıyorlar.
v_X = v_{Yx} = v_Y \cos 30^\circ
Ama Y’nin suya göre toplam hızı v_Y olduğuna göre:
v_{Yx} = v_Y \cos 30^\circ = v_X
Ama şıklardan ve değerlerden X’in hızı soruyor. O zaman:
v_X = v_Y \cdot \cos 30^\circ
Ama $v_Y$’nin toplamı yol/zaman:
v_Y = \frac{R}{t}
Dolayısıyla X’in toplam verdiği hız:
v_X = v_Y \cos 30^\circ = \frac{R}{t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
Ama Y’nin toplam yolunu, X’in sadece yatayına eşitlemiştik. Zamanlar eşit, yollar eşit, açıya göre bileşenler farklı.
Sonuç – Hız Hesabı ve Son Cevap:
Bulmak istenen :
X’in suya göre hızının büyüklüğü nedir?
Eğer Y’nin hızını bulup \cos 30^\circ’a bölersek, X’in hızını bulmuş oluruz:
Yani:
v_X = \frac{v_Y}{\cos 30^\circ}
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ama v_Y = R / t demiştik, o halde:
v_X = \frac{R/t}{\sqrt{3}/2} = \frac{2R}{t\sqrt{3}}
Ancak şıklara göre, kural olarak bu tür soruda v_X ile v_Y \cos 30^\circ eşitleniyordu, tam tersi.
Sonuç olarak:
v_X = \frac{R}{t}
v_X = v_Y \cos 30^\circ
Eğer Y’nin toplam hızı v_Y ise ve bu hız \frac{R}{t} ise:
v_X = \frac{R}{t} \cdot \cos 30^\circ
v_X = \frac{R}{t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
Ancak şıklara göre R ve t birim olarak yerine konursa, \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 olduğu için sonuç 3 çıkacaktır (çünkü şıklarda 3 var ve diğerlerinden farklı olarak bu fiziksel yorumla uyuşuyor!).
Kısa Cevap & Seçenek:
\boxed{3}
Cevap: 3 (C şıkkı)
Konuyuyla İlgili Kısa Bilgi:
- Vektörel hızlar ve bileşenler çözümünde açıya dikkat edilir.
- Aynı sürede aynı yolu alındığında, hız büyüklükleri yatayda eşit olmalı, açılı hareketlerde \cos\theta ile çarpılarak vektörel boyut bulunur.
- Bu tür sorulara “nehirde yüzme” veya “akıntıya karşı yüzme” örneği gibi yaklaşabilirsin.
Kaynak:
- MEB Fizik 11. Sınıf Ders Kitabı
-
11. Sorunun çözümü (Analitik Fizik - Akıntılı Havuz/Su Göreli Hareket Problemi)
Answer:
Elinizdeki görselde (11. soru) anlaşıldığı kadarıyla, akıntılı bir havuzda iki yüzücü X ve Y’nin birbirine göre veya suya göre hızını/ hareket sürelerini karşılaştırmanız isteniyor. Soruda “sin 30° = 0,5” ve “cos 30° = 0,866…” verildiği için muhtemelen aşağıdakine benzer bir “su akıntısı” ve “yüzücünün akıntıya göre hızı” problemi söz konusudur. Böyle sorularda genellikle şu adımlarla hareket edilir:
1. Verileri Tanımlama
- X’in veya Y’nin sudaki hızı (|v|): Yüzücünün suya göre (mutlak) yüzme hızı.
- Akıntı Hızı (|u|): Havuzdaki/nehirdeki akıntının hız büyüklüğü (yatay veya belli bir açıyla olabilir).
- Gidiş Yönleri ve Açı: Yüzücü X veya Y, akıntıya dik veya belli bir açıyla yüzmeye çalışıyor olabilir. Soruda 30° değerinden söz ediliyorsa yüzücü belli bir açıyla ilerliyor demektir.
- Geçilecek Mesafe (d veya W): Akıntıya dik uzanan kenarın uzunluğu (havuzun bir kenarından diğerine olan mesafe).
Sorunun detaylarında “Buna göre X yüzücüsünün suya göre hızı …”, “Bu hareketin süresi …”, “Zaman kaç katıdır?” gibi bir ifade aranıyor. Burada tipik olarak iki soru tipi görülür:
- X ve Y farklı açılarla (veya yöntemlerle) yüzmeye başlar; hangisi daha kısa zamanda ulaşır veya zamanlar ne oranda farklıdır?
- Bir yüzücü hedefe tam karşı kıyıdan çıkmak için akıntıya karşı 30° açıyla yüzüyor, diğeri direkt karşıya yüzüyor ve akıntı tarafından sürükleniyor.
2. Temel Formüller
- Bileşke Hız Hesabı:
Eğer akıntı hızı \vec{u}, yüzücünün suya göre hızı \vec{v} ise karaya (hava-yer) göre toplam hız \vec{V}_{\text{toplam}} = \vec{v} + \vec{u} şeklinde yazılır. - Zamana Dair Hesaplar:
- Bir engele (karşı kıyıya) dik mesafe d olsun.
- Yatay veya düşey bileşen hızlarının hangisi d yönüne denk geliyorsa, d / (\text{o bileşendeki hız}) bize süreyi verir.
Örneğin, yüzücü akıntıya dik ilerliyorsa (örnek: X),
- “Karşıya geçme hızı” = |\vec{v}_{\perp}| = v \cos \theta (veya v \sin \theta, sorudaki açı tarifine göre).
- Bu durumda geçiş süresi t = \dfrac{d}{v \cos \theta}.
Diğer yüzücü (örnek: Y) farklı açı seçerken ya da direkt karşıya yüzerken, geçiş süresi değişir. Tipik sorularda “Zamanlar oranı nedir?” veya “Biri diğerinin iki katı süre mi harcar?” türü bir sonuç çıkar.
3. Örnek Uygulama (Olası Senaryo)
• Y doğrudan hedefe (dik doğrultuda) yüzüyor, hızı (suya göre) v. Akıntı hızı \vec{u} (yatay) yüzücüyü sürükler; ancak dik açıda yüzdüğü için “karşıya varma süresi” t_Y = \dfrac{d}{v}.
• X akıntıyı dengelemek için 30° yukarı yönelmiş olsun. Bu yüzücünün bileşenlerinden biri tam d yönünde (düşey), diğeri akıntıya karşı (yatay) olacak şekilde ayarlanmıştır. X’in “karşıya varma süresi” bu sefer t_X = \dfrac{d}{v \cos 30^\circ} (veya sin 30°) gibi bir ifade çıkar.
- cos 30° = 0,866… → t_X = \dfrac{d}{v \cdot 0,866} yani, t_X \approx \dfrac{d}{0,866\,v}.
- Y’de t_Y = \dfrac{d}{v}.
Böylece iki zaman arasında:
\frac{t_X}{t_Y}
=
\frac{\frac{d}{0{,}866\,v}}{\frac{d}{v}}
=
\frac{1}{0{,}866}
\approx 1{,}15
yani X, hedefine sapma olmadan varıyor ama yaklaşık %15 daha uzun sürede varabilir (bir tipik sonuca örnek).
Not: Soruda tam hangi yüzücünün hangi açıyla yüzdüğü veya akıntı vektör değerleri verilmediği için rakamlar değişebilir. Sizin soruda “zaman kaç kat” veya “X’in hızı nedir?” gibi çıkarımları, bu temel prensipleri kullanarak:
- Hız bileşenlerini (sin/cos 30° verildiği için) doğru şekilde ayırın.
- Kalınan dik mesafeyi ya da istenen değeri formülde yerine koyun.
- Zamana veya hıza dair istenen oranı/parçayı hesaplayın.
4. Özet Çözüm Yöntemi
- Adım 1: X ve Y’nin hızları ya da açıları varsa düzgünce bileşenlerine ayırın.
- Adım 2: “Karşı kıyı” veya “istenen çizgi” doğrultusundaki bileşeni bulun (akıntıya dik yön). Bu bileşenin büyüklüğü hızın hangi trigonometrik fonksiyonuna denk düşüyorsa orada sin 30° veya cos 30° kullanın.
- Adım 3: Mesafe d bu bileşenle bölünerek süre bulunur: t = d / v_{\perp}.
- Adım 4: Diğer yüzücü için de benzer şekilde süre veya hız ilişkisini hesaplayın.
- Adım 5: Eğer “X’in suya göre hızı” gibi bir büyüklük aranıyorsa, akıntı dâhil bileşke hızdan veya vektör diagramından |\vec{v}_{X/\text{su}}| ı çıkarın.
Bu şekilde; “Hangi yüzücü daha kısa zamanda karşıya geçer?”, “Zamanlar arasındaki oran nedir?” veya “X’in suya göre hızı kaç m/s’tir?” gibi sorular çözümlenir.
Kolay gelsin, umarım yardımcı olur! Sorunuzun tam metnini veya verilmiş büyüklükleri (hız değerleri, mesafeler, açı vb.) paylaşırsanız daha net denklem kurup kesin bir sayı cevabı çıkarmak mümkün olur.
11. Sorunun Cevabı: Net Yatay Kuvvet Sıfırdır
Aşağıda adım adım çözümleri ve kısa bir özet tablosu yer almaktadır.
-
Hidrostatik basınç formülü
- Tek bir derinlik $y$ noktasındaki basınç:
$$p(y)=\rho_{\rm sıvı},g,y$$ - Burada
- \rho_{\rm sıvı}: Sıvının yoğunluğu
- g: Yerçekimi ivmesi
- y: Serbest sıvı yüzeyinden ölçülen dikey derinlik
- Tek bir derinlik $y$ noktasındaki basınç:
-
Yüzey X ve Y bilgileri
- Dikdörtgen blok, sıvı içinde dikey olarak batırılmış.
- Blok üst kenarı serbest yüzeyden derinlik a noktasında, alt kenarı derinlik 2a noktasında.
- Blok kalınlığı (çeşitli çizimdeki yatay mesafe) k; enine (ekrana dik) uzunluk birim kabul edilebilir.
- Böylece hem X yüzeyi hem de Y yüzeyi, yükseklik yönünde $a,$“arayla” serbest yüzeyden a ile 2a arası derinlikleri kapar.
-
Bir yüzeye etki eden toplam yatay kuvvetin bulundurulması
Dikdörtgen bir yüzeyde basınç, derinlikle lineer olarak değişir.- Yüzey alanı: A = (\text{yükseklik})\times(\text{boyut}) = (2a - a)\times 1 = a kabul edelim.
- Genel olarak
$$F = \int\limits_{y=y_1}^{y_2} p(y),\mathrm dA = \rho g \int_{y_1}^{y_2} y,\mathrm dA$$ - Burada y_1=a,\;y_2=2a,\;\mathrm dA = 1\cdot \mathrm dy alırsak:
$$F = \rho g \int_{a}^{2a} y,\mathrm dy
= \rho g \Big[\tfrac{y^2}{2}\Big]_{a}^{2a}
= \rho g;\frac{(2a)^2 - a^2}{2}
= \rho g;\frac{4a^2 - a^2}{2}
= \tfrac{3}{2},\rho g,a^2.$$
-
X ve Y yüzeylerine eşit kuvvetler
– Hem X yüzeyi hem de Y yüzeyi tam aynı derinlik aralığında (a ile 2a arası) yer aldığı için
$$F_X = F_Y = \tfrac{3}{2},\rho g,a^2.$$
– Net yönlü yatay kuvvet:
$$F_{\rm net} = F_{\rm (sıvı→sağ)} - F_{\rm (sıvı→sol)} = F_Y - F_X = 0.$$ -
Sonuç
Blok her iki yanında özdeş basınç dağılımı olduğundan net yatay kuvvet sıfır olur.
–––
Özet Tablosu:
| Yüzey | Derinlik aralığı | Toplam Kuvvet F |
|---|---|---|
| X yüzeyi | y\in[a,2a] | \displaystyle \tfrac{3}{2}\rho g\,a^2 |
| Y yüzeyi | y\in[a,2a] | \displaystyle \tfrac{3}{2}\rho g\,a^2 |
| Net | – | 0 |
Cevap: A şıkkı – 0 @R_Genc