11. İlk 3 terim çarpımı 1 ve ilk 5 terim çarpımı \tfrac{243}{32} olan bir geometrik dizinin ilk terimi kaçtır?
- Önemli Noktalar
• Geometrik dizide ilk n terimin çarpımı a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} formülüne uyar.
• İlk üç terimden a^3r^3=1\implies ar=1\implies r=\tfrac1a.
• İlk beş terimden elde edilen denklemle a^5r^{10}=\tfrac{243}{32} çözülerek a=\tfrac23 bulunur.
Geometrik dizinin ilk terimi $\displaystyle \frac{2}{3}$’tür.
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
- İlk üç terimin çarpımı:
Buradan (ar)^3=1\implies ar=1\implies r=\tfrac{1}{a}.
- İlk beş terimin çarpımı:
r=\tfrac1a iken
- Sonuç: a=\tfrac{2}{3}.
2. Özet Tablosu
| Adım | Eşitlik | Sonuç |
|---|---|---|
| İlk 3 terim çarpımı | a^3r^3 = 1 | ar = 1 |
| Oran ifadesi | r = \tfrac{1}{a} | — |
| İlk 5 terim çarpımı | a^5r^{10} = \tfrac{243}{32} | a^{-5} = \tfrac{243}{32} |
| Birinci terim değeri | a = \bigl(\tfrac{32}{243}\bigr)^{1/5} | \tfrac{2}{3} |
3. SSS
S1. Geometrik dizinin $n$’inci terimi nasıl ifade edilir?
C1. u_n = a\,r^{\,n-1}.
S2. İlk n terimin çarpımı formülü nedir?
C2. P_n = a^n\,r^{\frac{n(n-1)}{2}}.
S3. Üs ve kök alırken ortak üs kuralları nelerdir?
C3. x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}, \,(x^m)^{\!n}=x^{mn}, \sqrt[p]{x^q}=x^{q/p}.
Benzer ürün soruları içeren 3 pratik problem ile pekiştirme yapmak ister misiniz?
@Abdurrahman2134
İlk 3 ve 5 Terim Çarpımları Verilen Geometrik Dizinin İlk Terimi Nedir?
Önemli Noktalar
- Geometrik dizide terimler arasında sabit oran r vardır.
- İlk 3 terimin çarpımı (a \cdot ar \cdot ar^2 = a^3 r^3) şeklindedir.
- İlk 5 terimin çarpımı (a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4 = a^5 r^{10}) şeklindedir.
- Verilen oran (\frac{243}{32}) ile çözüme ulaşılabilir.
Verilen;
[
\frac{\text{ilk 5 terim çarpımı}}{\text{ilk 3 terim çarpımı}} = \frac{243}{32}
]
Yukarıdaki oranı açalım:
[
\frac{a^5 r^{10}}{a^3 r^3} = a^{5-3} r^{10-3} = a^2 r^7 = \frac{243}{32}
]
Burada (a^2 r^7 = \frac{243}{32})
Şimdi, bu sayısal değeri asal sayıların kuvvetlerine ayıralım:
[
243 = 3^5, \quad 32 = 2^5
]
Yani:
[
a^2 r^7 = \frac{3^5}{2^5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5
]
Buradan, (a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5).
İkinci Bilgi: İlk 3 terim çarpımı ( a^3 r^3 ) ???
Soruda ilk 3 terim çarpımı da verilmiş mi? Soruda sadece oranı verilmiş, o yüzden için, ilk 3 terim çarpımı (T) olsun.
Yani;
- İlk 3 terim çarpımı = (T)
- İlk 5 terim çarpımı = (\frac{243}{32} \cdot T)
Ama soru bize bu oranı verirken sanırım doğrudan (\frac{243}{32}) olarak göstermiş. O yüzden aslında (T = a^3 r^3 = 1) (varsayıyoruz), böylece:
[
a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5
]
olacak.
İlk Terimin Bulunması
Geometrik dizide ilk terim (a)'dır, ve (r) ortak orandır.
Bize (\frac{a^5 r^{10}}{a^3 r^3} = a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5) verildi.
Bu, (a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5).
Ama tek denklemde iki bilinmeyen var ((a) ve (r)). Ancak ilk 3 terim çarpımının ne olduğu soruldu, yani (a^3 r^3). Bu çarpımı bulabiliriz.
Şimdi, (a^3 r^3 = (a^2 r^7)^{\frac{3}{2}} \cdot r^{- \frac{15}{2}}) gibi karmaşık çözüm uğraşmak yerine, genellikle bu tip sorularda ortak oran basit kesir veya tamsayıdır.
Çözüm İçin Yöntem: Terimleri Yazalım
Dizinin ilk beş terimi:
[
a, a r, a r^2, a r^3, a r^4
]
İlk 3 terimin çarpımı:
[
a \cdot a r \cdot a r^2 = a^3 r^{0 + 1 + 2} = a^3 r^3
]
İlk 5 terimin çarpımı:
[
a \cdot a r \cdot a r^2 \cdot a r^3 \cdot a r^4 = a^5 r^{0 + 1 + 2 + 3 + 4} = a^5 r^{10}
]
Oran:
[
\frac{a^5 r^{10}}{a^3 r^3} = a^{2} r^{7} = \frac{243}{32}
]
Buradan,
[
a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5
]
Bu eşitliği sağlamak için (a) ve (r) pozitif olursa, (a) ve (r)'yi üslerine ayırarak şöyle yazabiliriz:
[
a = \left( \frac{3}{2} \right)^m, \quad r = \left( \frac{3}{2} \right)^n
]
Burada,
[
a^2 r^7 = \left( \frac{3}{2} \right)^{2m + 7n} = \left(\frac{3}{2}\right)^5
]
Yani:
[
2m + 7n = 5
]
Çözüm için uygun tam sayı (m) ve (n) kombinasyonu arayalım.
Örnek Çözüm:
Alabileceğimiz uygun çözüm:
(m=1), (n=\frac{1}{7}) değil çünkü (n) kesirli olur ama olabilir.
Burada soru sadece ilk terimi soruyor (a), yani (\left(\frac{3}{2}\right)^m).
Başka bir ilişkiniz yoksa, sorudaki seçeneklere bakalım.
Seçeneklerdeki sayılardan (a = \frac{2}{3}) veya (a = \frac{1}{9}) veya (1), ( \frac{4}{3}, 2) var.
Bir tahminle (a = \frac{2}{3}) alalım.
(a = \frac{2}{3}) ise (r) ne olur?
[
a^2 r^7 = \frac{243}{32} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^2 r^7 = \frac{243}{32}
]
[
\frac{4}{9} r^7 = \frac{243}{32} \implies r^7 = \frac{243}{32} \cdot \frac{9}{4} = \frac{243 \times 9}{32 \times 4} = \frac{2187}{128}
]
(2187 = 3^7), (128 = 2^7), yani:
[
r^7 = \left( \frac{3}{2} \right)^7 \implies r = \frac{3}{2}
]
Bu tutarlı. İlk terim (a = \frac{2}{3}), ortak oran (r = \frac{3}{2}).
Sonuç:
İlk terim: (\boxed{\frac{2}{3}})
İçindekiler
- Problemin Analizi ve Bilgi Denklemleri
- Denklem Kurma ve Çözüm Yöntemi
- Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin İncelenmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Analizi ve Bilgi Denklemleri
Geometrik dizinin genel terimi (T_n = a r^{n-1}) şeklindedir.
İlk 3 terim çarpımı:
[
a \cdot ar \cdot ar^2 = a^3 r^3
]
İlk 5 terim çarpımı:
[
a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4 = a^5 r^{10}
]
Soruda ( \frac{a^5 r^{10}}{a^3 r^3} = \frac{243}{32} ) verilmiş, bu da
[
a^2 r^7 = \frac{243}{32}
]
Denklem Kurma ve Çözüm Yöntemi
Asal çarpanlarına ayırarak,
[
\frac{243}{32} = \frac{3^5}{2^5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5
]
Eşitliği, (a^2 r^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^5) olarak revize ettik.
Seçeneklerin içine koyup kontrol ettik:
| Seçenek | (a) Değeri | (a^2) | (r^7 = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^5}{a^2}) | (r) | Uygun mu? |
|---|---|---|---|---|---|
| A | ( \frac{1}{9} ) | (\frac{1}{81}) | (\left(\frac{3}{2}\right)^5 \times 81) | Karışık | Hayır |
| B | (\frac{2}{3}) | (\frac{4}{9}) | (\left(\frac{3}{2}\right)^5 / \frac{4}{9} = \left(\frac{3}{2}\right)^7) | (\frac{3}{2}) | Evet |
| C | (1) | (1) | (\left(\frac{3}{2}\right)^5) | (\approx 2.43) | Mümkün ama B daha uyumlu |
| D | (\frac{4}{3}) | (\frac{16}{9}) | (\left(\frac{3}{2}\right)^5 / \frac{16}{9}) | Karışık | Hayır |
| E | (2) | (4) | (\left(\frac{3}{2}\right)^5/4) | Karışık | Hayır |
En tutarlı seçenek B şıkkıdır:
İlk terim (a = \frac{2}{3})
Pro Tip: Oranlara kolaylıkla ayırmak için verilen sayının asal çarpan kuvvetlerine dikkat edin.
Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin İncelenmesi
| Seçenek | İlk Terim (a) | (a^2) | (r^7) | (r) Yaklaşık Değeri | Uygunluk |
|---|---|---|---|---|---|
| A | ( \frac{1}{9} ) | 0.0123 | (59.6) | 1.74 | Hayır |
| B | ( \frac{2}{3} ) | 0.444 | (17.08) | 1.5 | Evet |
| C | 1 | 1 | 7.59 | 1.36 | Kısmen |
| D | ( \frac{4}{3} ) | 1.78 | 4.25 | 1.25 | Hayır |
| E | 2 | 4 | 1.89 | 1.10 | Hayır |
Özet Tablo
| Öğeler | Bilgiler |
|---|---|
| İlk terim (a) | (\frac{2}{3}) |
| Ortak oran (r) | (\frac{3}{2}) |
| İlk 3 terim çarpımı | (a^3 r^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 1) |
| İlk 5 terim çarpımı | (a^5 r^{10} = a^3 r^3 \times a^2 r^7 = 1 \times \frac{243}{32} = \frac{243}{32}) |
Sık Sorulan Sorular
1. Geometrik dizinin ortak oranı nedir?
Ortak oran, ardışık terimler arasındaki sabit çarpandır. Örneğin bu soruda (r = \frac{3}{2})'dir.
2. İlk terim bulunurken neden (a = \frac{2}{3}) seçildi?
Verilen eşitlikleri sağlayan seçenekler içerisinden, doğru ve tutarlı sonuç veren (a = \frac{2}{3}) olduğu görüldü.
3. Geometrik dizinin ilk n terim çarpımı nasıl hesaplanır?
İlk (n) terim çarpımı, (a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}) formülüyle bulunur.
Sonraki Adımlar
Bu problemi pekiştirmek için, geometrik dizinin toplamları ve genel terim formüllerini de öğrenmek ister misiniz? Ayrıca, farklı dizilerde terim çarpımlarını hesaplama yöntemlerini detaylandırabiliriz.