11 ile bölünebilme kuralı; birler basamağından + ile başlanıp +,-,+,-, dots şeklinde sayının rakamları altına işaretlenip, rakam ile karşılık gelen işaret çarpılıp, çıkan sonuçlar toplanır. Toplamın sonucu olan sayının 11 ile bölümünden kalan kaç ise cevap bulunmuş olur.
Bir öğrenci x sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için yukarıdaki kuralı uygularken yanlışlıkla birler basamağından - ile başlayıp -,+,-,+, dots şeklinde işlem yapmıştır.
Bu şekilde cevabı 4 bulduğuna göre, doğru cevap kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 7
E) 10
11 ile Bölünebilme Kuralı ve Modüler Aritmetikte Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağından başlanarak sola doğru rakamlar sırasıyla +,-,+,-,\dots ile çarpılıp toplanır. Elde edilen toplamın 11 modundaki değeri sayının 11 ile bölümünden kalanını verir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Doğru ve Yanlış İşlemlerin Cebirsel İfadesi
Sayının doğru kurala göre birler basamağından + ile başlanarak oluşturulan basamak işaretleri toplamı S olsun:
S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots
Öğrenci birler basamağından yanlışlıkla - ile başladığında tüm işaretler tersine döner. Dolayısıyla öğrencinin bulduğu toplam -S olur:
-S = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3 - \dots
Adım 2 — Kalan Değerlerinin Mod 11 Bağıntısı
Öğrencinin bulduğu sonucun 11 ile bölümünden kalan 4 olarak verilmiştir:
-S \equiv 4 \pmod{11}
Her iki taraf -1 ile çarpıldığında:
S \equiv -4 \pmod{11}
Kalan negatif olamayacağından denklik sınıfına 11 eklenir:
S \equiv -4 + 11 \equiv 7 \pmod{11}
Doğru kural uygulandığında bulunacak kalan 7’dir.
CEVAP: D) 7
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir sayının işaret tablosu tamamen tersine döndüğünde toplamın negatifi elde edilir. Modüler aritmetikte -k \equiv m - k \pmod m bağıntısı geçerli olduğundan, 11 ile bölmede bulunan ters işaretli kalanı 11’den çıkararak doğrudan doğru sonuca ulaşabilirsiniz (11 - 4 = 7).