Resimli Sorunun Devamı ve Çözüm Yolu Nasıl Olmalı?
Önemli Noktalar
- Verilen sayı aralıklarındaki çift sayıların ve tek sayıların toplamı hesaplanacak.
- A: 11 ile 91 arasındaki çift sayıların toplamı.
- B: 6 ile 92 arasındaki tek sayıların toplamı.
- 1’den 91’e kadar olan sayıların toplamı, A ve B cinsinden ifade edilecek.
Soru: 1’den 91’e kadar olan doğal sayıların toplamı, A ve B toplamları cinsinden nedir?
İçindekiler
A ve B Toplamlarının Hesaplanması
-
A = 11 ile 91 arasındaki çift sayıların toplamı
- Bu aralıkta ilk çift sayı 12, son çift sayı 90’dır.
- Çift sayılar aritmetik dizi oluşturur: 12, 14, 16, …, 90
- Terim sayısı:
[
\frac{90 - 12}{2} + 1 = 40
] - Toplamı:
[
A = \frac{40}{2} \times (12 + 90) = 20 \times 102 = 2040
]
-
B = 6 ile 92 arasındaki tek sayıların toplamı
- İlk tek sayı 7, son tek sayı 91’dir.
- Terim sayısı:
[
\frac{91 - 7}{2} + 1 = 43
] - Toplamı:
[
B = \frac{43}{2} \times (7 + 91) = 21.5 \times 98 = 2107
]
Pro Tip: Aritmetik dizi toplamı formülü:
[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
]
1’den 91’e Kadar Olan Sayıların Toplamının İfadesi
-
1’den 91’e kadar tüm doğal sayıların toplamı:
[
S = \frac{91 \times (91+1)}{2} = \frac{91 \times 92}{2} = 4186
] -
1’den 91’e kadar olan doğal sayılar hem çift hem tek sayılardan oluşur. Ama burada verilen A ve B tanımları farklı aralıktaki çift ve tek sayıları içeriyor (A: 11-91 çift, B:6-92 tek).
-
Ancak soruda 1’den 91’e kadar olan doğal sayıların toplamı A ve B cinsinden soruluyor.
-
1’den 91’e kadar olan doğal sayıların toplamı:
[
S = A + B + K
]
Burada K, 1’den başlayıp 10’a kadar olan çift sayılar ve 1’den 5’e kadar olan tek sayılar gibi, A ve B kapsamı dışında kalan sayıların toplamıdır. -
1’den 91’e kadar doğal sayılar toplamı için A ve B toplamlarından hangi sayıları çıkarmamız gerektiği veya eklememiz gerektiği bulunmalı.
Uyarı: Sorunun yazımı ve verilen aralıklar arasındaki farklara dikkat edin. 1’den 91’e kadar sayıların toplamı ile A ve B toplamlarının aralıkları tam örtüşmemektedir.
Sonuç ve Yorum
-
A ve B hesaplandı:
[
A = 2040, \quad B = 2107
] -
1’den 91’e kadar sayıların toplamı:
[
4186 = A + B - X
]
Burada X, A ve B toplamlarının aşan veya eksik olan sayılarını düzeltmek için bulunmalıdır. -
Verilen aralıklar dikkatlice incelenip, kesişim ve dışarıda kalan sayılar çıkarılırsa tam sonuç bulunur.
Kısaca Devamında Yapılması Gerekenler
- 1’den 10’a kadar çift sayıların toplamı hesaplanmalı: (2,4,6,8,10) toplamı = 30
- 1’den 5’e kadar tek sayıların toplamı hesaplanmalı: (1,3,5) toplamı = 9
- Bu toplamlar A ve B’nin içinde yoktur, uyarı için çıkarılmaları gerekiyor.
- O halde:
[
S = A + B + (1+3+5) + (2+4+6+8+10) = 2040 + 2107 + 9 + 30 = 4186
] - Böylece 1’den 91’e kadar toplam A+B+39 olarak ifade edilir.
Sonuç:
1’den 91’e kadar olan sayıların toplamı, (A + B + 39)'dur.
Sonraki Adımlar
- İsterseniz, bu tür aritmetik dizilerde toplam problemlerinde ortak hata noktalarını anlatayım mı?
- Ya da farklı sayı aralıklarında toplam sorularının çözüm örnekleri isterseniz paylaşabilirim.
11 ile 91 sayıları arasında bulunan çift sayıların toplamı A, 6 ile 92 sayıları arasındaki tek sayıların toplamı B’dir. Buna göre, 1’den 91’e kadar olan doğal sayıların toplamının A ve B cinsinden değeri nedir?
- Aritmetik dizi toplamı formülü: S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}
- A, 12’den 90’a (çiftler), B, 7’den 91’e (tekler) kadardır
- 1–91 toplamı, eksik 1,3,5 ve 2,4,6 terimleri eklenerek bulunur
Problemin Özeti
- A: 11–91 arasındaki çift sayıların toplamı → 12, 14, …, 90
- B: 6–92 arasındaki tek sayıların toplamı → 7, 9, …, 91
- İstenen: 1+2+\cdots+91 ifadesini A ve B cinsinden yazmak
Çözüm Adımları
- 1’den 91’e kadar toplam:
$$T = 1 + 2 + 3 + \cdots + 91$$ - $T$’yi “tekler” ve “çiftler” olarak ayıralım:
$$T = \sum_{\substack{k=1}}^{91,;k;\mathrm{tek}} k ;+;\sum_{\substack{k=1}}^{90,;k;\mathrm{çift}} k$$ - İlk terimlerden A ve B’yi çıkarıp eksik kalanları ekleyelim:
- Tekler: 1,3,5 kadar eksik var → 1+3+5=9
$$\sum_{\substack{k=1}}^{91,;k;\mathrm{tek}} k = B + 9$$ - Çiftler: 2,4,6,8,10 kadar eksik var → 2+4+6+8+10=30
$$\sum_{\substack{k=1}}^{90,;k;\mathrm{çift}} k = A + 30$$
- Tekler: 1,3,5 kadar eksik var → 1+3+5=9
- Toplayalım:
$$T = (B+9) + (A+30) = A + B + 39$$
Sonuç: 1’den 91’e kadar doğal sayıların toplamı
Karşılaştırmalı Tablo: Tek vs Çift Seriler
| Özellik | Aritmetik Dizi (A) | Aritmetik Dizi (B) |
|---|---|---|
| Başlangıç terimi (a_1) | 12 | 7 |
| Ortak fark (d) | 2 | 2 |
| Son terim (a_n) | 90 | 91 |
| Terim sayısı (n) | n = \frac{90-12}{2} +1 = 40 | n = \frac{91-7}{2} +1 = 43 |
| Toplam S_n | A = \frac{40(12+90)}{2} | B = \frac{43(7+91)}{2} |
Özet Tablosu
| Sembol | Anlam | Değer / İfade |
|---|---|---|
| A | 12’den 90’a çift sayı toplamı | A = \frac{40(12+90)}{2} |
| B | 7’den 91’e tek sayı toplamı | B = \frac{43(7+91)}{2} |
| Eksik Tekler | 1, 3, 5 toplamı | 9 |
| Eksik Çiftler | 2, 4, 6, 8, 10 toplamı | 30 |
| T | 1’den 91’e toplam | T = A + B + 39 |
SSS
1. A neden 12’den başlıyor?
Çünkü 11 ile 91 “arasında” denildiğinde uç değerler dahil edilmez, 11 tek olduğundan bir sonraki çift sayı 12’dir.
2. B neden 7’den başlıyor?
6 ile 92 arasındaki tekler: 6 tek olmadığı için bir sonraki tek 7’dir; 92 de çift olduğundan son tek 91’dir.
3. Aritmetik dizi toplam formülü nedir?
Birinci terim a_1, son terim a_n, terim sayısı n için
$$S_n = \frac{n,(a_1 + a_n)}{2}.$$
4. Neden +9 ve +30 ekledik?
Toplam 1–91’i A ve B’ye bölerken başlangıç ve bitişten eksilen terimler (1,3,5 ve 2,4,6,8,10) ayrı hesaplanıp eklenir.
Devamında benzer aritmetik dizi örnekleri çözmek ister misin? @Mimi1