11. \( \frac{1}{\cos2x} + \frac{2\sin^2 x}{1 - 2\cos^2 x} \) kesrinin en sade hali hangisidir?

YKS TYT
1

image
image681×357 18.4 KB

2

Trigonometri Sorusu Çözümü: Kesrin En Sade Hali

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade:
    [
    \frac{1}{\cos 2x} + \frac{2 \sin^2 x}{1 - 2 \cos^2 x}
    ]
  • Amaç: İfade basitleştirilip seçeneklerle karşılaştırılacak.
  • Temel trigonometrik özdeşlikler kullanılacak.

İçindekiler

  1. Verilen İfadenin İncelenmesi
  2. Trigonometrik Özdeşliklerin Kullanımı
  3. İfadenin Basitleştirilmesi
  4. Sonuç ve Cevap

1. Verilen İfadenin İncelenmesi

İfade:
[
\frac{1}{\cos 2x} + \frac{2 \sin^2 x}{1 - 2 \cos^2 x}
]

İkinci kesirin paydasına dikkat:
[
1 - 2 \cos^2 x
]
Bu ifade, trigonometrik dönüşümlerle sadeleştirilebilir.

2. Trigonometrik Özdeşliklerin Kullanımı

Önemli özdeşlikler:

  • İkili açı formülleri
    [
    \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1
    ]

  • Sinüs ve kosinüs kare ilişkisi
    [
    \sin^2 x + \cos^2 x = 1
    ]

3. İfadenin Basitleştirilmesi

İkinci kesirin paydasını dönüştürelim:

[
1 - 2 \cos^2 x = 1 - (2 \cos^2 x) = -(2 \cos^2 x - 1) = -\cos 2x
]

Çünkü:

[
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \Rightarrow 2 \cos^2 x - 1 = \cos 2x
]

Dolayısıyla,

[
1 - 2 \cos^2 x = - \cos 2x
]

İkinci kesri yeniden yazalım:

[
\frac{2 \sin^2 x}{1 - 2 \cos^2 x} = \frac{2 \sin^2 x}{- \cos 2x} = -\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}
]

Toplam ifade:

[
\frac{1}{\cos 2x} - \frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\cos 2x}
]

Şimdi payı basitleştirelim:

[
1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x
]

(Sonuncusu ikili açı formülüdür.)

Sonuç:

[
\frac{\cos 2x}{\cos 2x} = 1
]

4. Sonuç ve Cevap

İfadenin en sade hali 1’dir.

Doğru Cevap: B) 1

Sık Sorulan Sorular

S: İkili açı formüllerini nasıl daha hızlı hatırlayabilirim?
A: En temel hali —
[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x
]
Bu üç formül birbirinden türetilir ve duruma göre kullanılır.

S: Bu tip sorularda işlemde hata yapmamak için ne yapmalıyım?
A: Payda ve payda benzer ifadeleri bulup ortak paranteze alma, özdeşlikleri doğru kullanma ve dikkatli çarpma işlemi en kritik adımlardır.

Sonraki Adımlar

Basit trigonometrik ifadelere hızlı dönüşüm teknikleriyle ilgilenir misiniz? Ya da benzer sorular üzerinden pratik yapalım mı?

@Abdurrahman2134

3

11. ( \frac{1}{\cos2x} + \frac{2\sin^2 x}{1 - 2\cos^2 x} ) kesrinin en sade hali hangisidir?

• Cos 2x ve sin² x arasındaki temel kimlikler çözümde kritik rol oynar.
• İkinci terimin payda ifadesi (1 - 2\cos^2 x), (-\cos2x) olarak dönüştürülebilir.
• Toplam ifade (1) sonucuna gider.

Doğru Cevap: 1

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. İkinci terimin paydasını dönüştürün:
    1 - 2\cos^2 x \;=\; -(2\cos^2 x - 1)\;=\;-\,\cos2x.
  2. İkinci terim
    \frac{2\sin^2 x}{1 - 2\cos^2 x} = \frac{2\sin^2 x}{-\cos2x} = -\frac{2\sin^2 x}{\cos2x}.
  3. İki terimi birleştirin:
    \frac{1}{\cos2x} - \frac{2\sin^2 x}{\cos2x} = \frac{1 - 2\sin^2 x}{\cos2x} = \frac{\cos2x}{\cos2x} = 1.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Payda dönüşümü (1 - 2\cos^2 x = -\cos2x) –
İkinci terimin sadeleşmesi (-2\sin^2 x / \cos2x) –
Toplam sadeleşme ((1 - 2\sin^2 x)/\cos2x = 1) 1

SSS

S1: Neden (1 - 2\sin^2 x) ifadesi (\cos2x)'e eşittir?
C1: Cosine çift açı formülü: (\cos2x = 1 - 2\sin^2 x).

S2: Paydanın işaretinin değişmesi sonuçları etkiler mi?
C2: Evet, işaret eksi olarak dışarı çıkar ve toplamda doğru sadeleşmeyi sağlar.

S3: Cos 2x = 0 iken ifade nasıl yorumlanır?
C3: O noktada tanımsızdır; soruda bu x değerleri dışlanır.

Bu yaklaşımı kullanarak benzer trigonometrik ifadeleri nasıl sadeleştirirsiniz? @Abdurrahman2134