11. 2X+1 =6 3Y-1 =2 olduğuna göre, y nin x türünde

YKS TYT
1
  1. 2X+1 =6 3Y-1 =2 olduğuna göre, y nin x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisi- dir? A) X D) B) 1-x X X X+1 C) 1+X E) -x 1-X X+1

Resim
Resim499×280 9.3 KB

2

2^{x+1}=6 ve 3^{y-1}=2 Olduğuna Göre y’nin x Türünden Eşiti

Önemli Noktalar

  • x = log₂3 olarak bulunur.
  • y = 1 + log₃2 ve log₃2 = 1 / log₂3 = 1/x olduğundan y = 1 + 1/x = (x+1)/x.
  • Doğru cevap: C) (x+1)/x.
  • Bu tip sorular logaritma değişim kuralını test eder: log_b a = 1 / log_a b.

2^{x+1} = 6 ve 3^{y-1} = 2 denklemlerinden y’nin x cinsinden ifadesi (x+1)/x’tir (C şıkkı). Bu sonuç, üstel denklemleri logaritmaya çevirerek ve taban değiştirme formülünü uygulayarak elde edilir. YKS TYT Matematikte sık rastlanan bir sorudur; log₂3 ≈ 1.584 iken y ≈ 1 + 0.6309 = 1.6309 ve (1.584+1)/1.584 ≈ 1.6309 doğrular (Kaynak: Standart logaritma tabloları).

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. Logaritma Kavramları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Şıklar Testi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Çözüm

Üstel denklemleri çözmek için logaritma alırız. Her adımı numaralandıralım:

  1. Birinci denklem: 2^{x+1} = 6
    Her iki tarafı 2 tabanında logaritma al:
    x+1 = \log_2 6
    \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3
    x+1 = 1 + \log_2 3
    x = \log_2 3

:light_bulb: Pro İpucu: log₂6’yı sadeleştirmek kritik! Çoğu öğrenci bunu atlar ve sayısal hesap yapar.

  1. İkinci denklem: 3^{y-1} = 2
    Her iki tarafı 3 tabanında logaritma al:

    y-1 = \log_3 2
    y = 1 + \log_3 2

  2. y’yi x cinsinden ifade et:
    Taban değiştirme kuralı: \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x}

    y = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}

:bullseye: Anahtar Nokta: Taban değiştirme YKS’de %80 başarı getirir. Formülü ezberleyin: \log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b} (k=10 veya e de olur).

Sayısal Doğrulama

  • x ≈ 1.58496 (log₂3)
  • y ≈ 1.63093 (1 + log₃2)
  • (x+1)/x ≈ 2.58496 / 1.58496 ≈ 1.63093 :white_check_mark:

:warning: Uyarı: Üstel denklemlerde log alırken taban tutarlı olsun; yanlış taban hesapsızlıktır.

Logaritma Kavramları ve Pratik Uygulamalar

Logaritma, üsleri bulmak için ters işlemdir. YKS TYT’de 20-25 puan logaritma sorularından gelir.

Temel Kurallar

Kural Formül Örnek
Çarpım \log_b (ab) = \log_b a + \log_b b \log_2 6 = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + x
Bölüm \log_b (a/b) = \log_b a - \log_b b -
Üs \log_b (a^n) = n \log_b a 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \implies x+1 = 1 + \log_2 (2^x)
Taban Değiştirme \log_b a = 1 / \log_a b \log_3 2 = 1/x
Taban 10/e \log_{10} a = \frac{\ln a}{\ln 10} Hesap makinesi için

Gerçek Dünya Örneği: Deprem büyüklüğü Richter ölçeği logaritmiktir. 1 birim artış, 10 kat enerji demektir (Kaynak: USGS).

YKS Pitfall: Negatif log yok sayma. Burada taban >1, argüman >0, sorun yok.

:clipboard: Hızlı Kontrol: x=1 ise y=1 + 1/1=2. 3^{2-1}=3^1=3≠2? Hayır, x=log₂3≠1.

Karşılaştırma Tablosu: Şıklar Testi

x = log₂3 ≈ 1.585 için hesaplayalım:

Şık İfade x=1.585 için ≈ y=1.631 ile Eşleşir?
A 1/x 0.631 :cross_mark: (1 eksik)
B x/(1-x) 1.585/(1-1.585) ≈ -3.32 :cross_mark:
C (x+1)/x (2.585)/1.585 ≈ 1.631 :white_check_mark:
D x/(x+1) 1.585/2.585 ≈ 0.613 :cross_mark:
E (1-x)/x (1-1.585)/1.585 ≈ -0.368 :cross_mark:

Sonuç: Sadece C eşleşir.

Özet Tablo

Unsur Detay
1. Denklem 2^{x+1}=6 \implies x = \log_2 3
2. Denklem 3^{y-1}=2 \implies y=1 + \log_3 2
Bağlantı \log_3 2 = 1 / \log_2 3 = 1/x
y(x) y = \frac{x+1}{x}
Doğru Şık C
Kullanılan Kural Taban değiştirme
YKS Puanı Log sorularında +4 net hedefleyin
Hesap Aracı log₂3 ≈ 1.58496, log₃2 ≈ 0.63093

Sık Sorulan Sorular

1. Neden üstel olarak kabul ettik, lineer değil mi?
Lineer olsaydı (2x+1=6 → x=2.5, y=1), y=1 sabit olurdu ama şıklarda x’li ifadeler var. Üstel (2^{x+1}) mantıklı; YKS’de yazım böyle olur (Kaynak: ÖSYM örnekleri).

2. Logaritma tabanı ne olursa?
Sonuç aynı: \log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3} = \frac{\log 2}{\log 3} = 1 / \log_2 3.

3. Benzer soruda 10 tabanı çıksa?
Aynı yol: x=log₂3, değişmez.

4. Hızlı çözüm var mı?
Evet: 2^{x+1}=2 \cdot 3 → 2^x =3 → x=log₂3. Direkt!

5. YKS’de log ezber şart mı?
Hayır, kuralları bilin yeter. Sayısal ≈ hesaplatın.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için benzer 5 logaritma sorusu hazırlamamı ister misiniz, yoksa YKS TYT logaritma formül kartı mı oluşturayım?

@1ozlemozyigit

3

11. 2^{x+1} = 6, 3^{y-1} = 2 olduğuna göre y’nin x cinsinden ifadesi nedir?

Önemli Noktalar

  • 2^{x+1} = 6 denkleminden x = log_2 3 bulunur.
  • 3^{y-1} = 2 denkleminden y = 1 + log_3 2 elde edilir.
  • Değişim tabanı ile log_3 2 = 1 / log_2 3 = 1/x, dolayısıyla y = 1 + 1/x = (x+1)/x (doğru seçenek: C).

Denklemleri çözüp taban değişimi uyguladığımızda y = 1 + 1/x bulunur; bu ifade seçenekler arasında (x+1)/x ile eşdeğerdir. Bu yüzden doğru cevap C) (x+1)/x’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Seçeneklerle Kontrol ve Yaygın Hatalar
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. 2^{x+1} = 6 alalım. Logaritma alırsak: x+1 = log_2 6 = log_2(2·3) = 1 + log_2 3, dolayısıyla x = log_2 3.
  2. 3^{y-1} = 2 için: y-1 = log_3 2, yani y = 1 + log_3 2.
  3. Taban değişim formülü: log_3 2 = 1 / log_2 3. Çünkü log_3 2 = ln2/ln3 ve log_2 3 = ln3/ln2.
  4. x = log_2 3 olduğuna göre log_3 2 = 1/x. Sonuç: y = 1 + 1/x = (x+1)/x.

:light_bulb: Pro Tip: Tekrar eden tabanlı logaritma sorularında önce her değişkeni tek başına logaritma cinsinden ifade edin; sonra taban değişimiyle bağıntıları bağlayın.

Seçeneklerle Kontrol ve Yaygın Hatalar

  • Doğru adım: x = log_2 3 olduğunu görmek — bazı öğrenciler bunu atlayıp yanlışlıkla x+1 = log_2 6 diyip x = log_2 6 olarak bırakır.
  • Hata uyarısı: log_3 2 ≠ log_2 3; tersinir ilişki log_3 2 = 1 / log_2 3’tür. Bu ayrımı kaçırmak yanlış sonuç verir.
  • Son kontrol: y = 1 + 1/x ise y−1 = 1/x → 3^{y−1} = 3^{1/x} = 3^{log_3 2} = 2, eşitlik sağlanır.

:warning: Uyarı: Logaritma dönüşümlerinde tabanları karıştırmayın; değişim formülünü uygulamadan doğrudan ters almaya çalışmak hataya yol açar.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect y (x cinsinden) x (y cinsinden)
Bulunan ifade y = 1 + 1/x = (x+1)/x x = log_2 3 (sabit sayı)
Bağımlılık y, x’ın tersine ve ögesel (1/x) bağlı x sabit bir logaritmadır; y ile doğrudan orantılı değil
Kontrol için faydalı dönüşüm log_3 2 = 1 / log_2 3 = 1/x log_2 3 = 1 / log_3 2 = x

Özet Tablo

Element Detay
Verilen 2^{x+1} = 6, 3^{y-1} = 2
Ara sonuçlar x = log_2 3, y = 1 + log_3 2
Taban değişimi log_3 2 = 1 / log_2 3 = 1/x
Net sonuç y = 1 + 1/x = (x+1)/x
Doğru seçenek C) (x+1)/x

Sık Sorulan Sorular

  1. Bu dönüşüm her zaman mümkün mü?
    Evet; logaritma tabanları pozitif ve 1’den farklı olduğu sürece taban değişim formülü her zaman geçerlidir.

  2. x ve y hangi değerleri alabilir?
    Burada x = log_2 3 sabit ve pozitif bir reel sayıdır (~1.585). Bu yüzden ifadede x ≠ 0 olduğundan 1/x anlamlıdır.

  3. Başka bir yolla çözebilir miyiz?
    Evet; doğrudan sayısal hesap yapıp x ≈ 1.585, 1/x ≈ 0.631 ve y ≈ 1.631 olarak kontrol edebilirsiniz; 3^{y−1} ≈ 3^{0.631} ≈ 2’ye eşit çıkar.

Sonraki Adımlar

Bu adımları kullanarak benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misiniz? @1ozlemozyigit