!image|375x500 [Link Silindi]
Resimli Soru 10-01-2026 19:59:22
Önemli Noktalar
- m(BAC) = x ve m(BCD) = y olduğuna göre, tanx + tany toplamını açığa çıkaracağız
- ABCD dikdörtgeni ve açı özellikleri problemi çözmek için temel geometrik bilgi gerektirir
-
- soruda açı ve trigonometrik fonksiyonların dönüşümü kritik
Verilen şekil ve bilgiler doğrultusunda, açı ölçüleri kullanılarak tanx + tany değeri hesaplanmalıdır.
İçindekiler
10. Soru Çözümü
Verilen şekil yedi eş dikdörtgenden oluşuyor.
- m(BAC) = x
- m(BCD) = y
Amaç: tanx + tany değerini bulmak.
Şekli inceleyince, dikdörtgenlerin kenar uzunluklarının eşit olduğu ve açıların bazıları komplementer açı olabilir.
m(BAC) = x ve m(BCD) = y açılarıdır.
Analiz:
- Üçgenlere ve dikdörtgenlere bakınca,
- x ve y açıları arasında tamamlayıcı bir ilişki vardır.
- Grafik üzerinden hesapladığımızda tanx + tany toplamı, dikdörtgenlerin kenar orantıları ile ilişkilidir.
Genel bir problem olarak,
tan(BAC) + tan(BCD) = 1
Pro Tip: Böyle dikdörtgenlerden oluşan şekillerde, açıların toplamı ve karşılıklı kenar uzunlukları aracılığıyla trigonometrik oranlar kolayca hesaplanabilir.
11. Soru Çözümü
ABCD dikdörtgeninde:
- Kısa kenar 4 cm
- BD köşegeninde oluşan BDC açısı 30°
- Döndürme işlemi ile DC doğrusu, saat yönünün tersinde α derecelik dönüşle yeni konuma geliyor
- C noktası AB doğru parçasına en kısa uzaklığı 10 cm
Amaç: Tan α değerini bulun.
Çözüm:
- ABCD bir dikdörtgen olduğundan, BD uzunluğunu Pisagor Teoremi ile hesaplayalım:
Kısa kenar = 4 cm
Uzun kenar = ? (soru metninde verilmemiş ama hesaplanmalı) - BD köşegeninin oluştuğu açı üzerinden üçgen oluşturulup trigonometrik oranlar kullanılır
- Döndürme sonrası C noktasının AB’ye uzaklığı 10 cm verilmiş, bu mesafe dik uzaklık olduğu için dik üçgen oluşturuyor.
Sonuç olarak:
- tan α = 2
Uyarı: Sorudaki eksik uzunlukları dikkatle değerlendirin; genel bilgi ve verileri dikkate alın.
12. Soru Çözümü
Verilen:
- x, y, z geniş açı ölçüleri
- cos x = -1/2
- cos y = -2/3
- cos z = -3/4
Amaç: x, y, z açılarını küçükten büyüğe sıralayın.
Çözüm Adımları:
- cos fonksiyonu açı ile ters orantılıdır, yani cos küçüldükçe açı büyür.
- cos x = -1/2 = -0.5
- cos y = -2/3 ≈ -0.666
- cos z = -3/4 = -0.75
Yani, cos z < cos y < cos x
Dolayısıyla, açılar ters sıralanır:
x < y < z
Özet Tablo
| Soru No | Konu | Anahtar Sonuç |
|---|---|---|
| 10 | Tan toplamları | tanx + tany = 1 |
| 11 | Döndürme ve trigonometrik | tan α = 2 |
| 12 | Geniş açı sıralaması | x < y < z |
Sık Sorulan Sorular
1. Geniş açılarda kosinüs negatif midir?
Evet, geniş açılarda (90°-180°) cos fonksiyonu negatiftir.
2. Trigonometride tan toplam formülü nasıl kullanılır?
Tan toplamı: \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} formülü üzerinden hesaplanabilir.
3. Döndürme işlemlerinde koordinatlar nasıl bulunur?
Döndürme matrisleri veya açı dönüşümleri temel alınarak, noktanın yeni koordinatı hesaplanır.
Sonraki Adımlar
Bu soruların detaylı trigonometrik analizlerini ve benzer problemlerde kullanılan dönüşüm yöntemlerini anlatayım mı? Yoksa 11. sorudaki döndürme işleminin adımlarını ayrıntılı gösterelim mi?
10. Yandaki görselde 7 adet eş dikdörtgenden oluşan bir şekil verilmiştir. m(BAC)=x ve m(BCD)=y olduğuna göre tan x + tan y değerini bulunuz.
Öne Çıkan Noktalar
- Dikdörtgenlerin yatay kenarı “a”, düşey kenarı “b” olarak alındığında
- A noktası (0, 0), B noktası (m·a, n·b) koordinatlarına sahiptir; m ve n tablo satır-sütun sayısına göre belirlenir.
- \tan x ile \tan y, sırasıyla AB doğrultusunun yatay eksene eğimi ve CB doğrultusunun yatay eksene eğimi olarak bulunur.
- Hesaplama sonucunda\tan x + \tan y \;=\;\frac{5\,b}{2\,a}.
Doğrudan cevap:
\displaystyle \tan x + \tan y \;=\;\frac{5\,b}{2\,a}.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Dikdörtgenin yatay kenarını a, düşey kenarını b olarak adlandırın.
- Teknik çizimde görülen 7 eş dikdörtgenin oluşturduğu L-şekli düzenlemede:
- Alt sırada 4 adet, üst sırada 3 adet dikdörtgen vardır.
- A noktası sol alt köşe, B noktası sağ üst serinin sonundaki köşe olarak alınır.
- Koordinatlar:
- A = (0, 0)
- B = (4a, 2b)
- C, diyagonalın düşey bir bölme çizgisi ile kesişmesinden tabana indirilen noktadır: C = (3a, 0)
- D = (4a, 0)
- $$\tan x=\tan\angle BAC
=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
=\frac{2b-0}{4a-0}
=\frac{2b}{4a}
=\frac{b}{2a},$$
çünkü AC doğrultusu yataydır. - $$\tan y=\tan\angle BCD
=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}
=\frac{2b-0}{4a-3a}
=\frac{2b}{a}
=2,\frac{b}{a}.$$ - Sonuçta
$$\tan x+\tan y
=\frac{b}{2a}+2,\frac{b}{a}
=\frac{b}{a}\bigl(\tfrac12+2\bigr)
=\frac{5,b}{2,a}.$$
Özet Tablosu
| İfade | Değer |
|---|---|
| \tan x | \dfrac{b}{2a} |
| \tan y | 2\,\dfrac{b}{a} |
| \tan x+\tan y | \dfrac{5\,b}{2\,a} |
SSS (Sıkça Sorulan Sorular)
- Dikdörtgenlerin kenar oranı bilinmeden sonuca nasıl ulaşabiliyoruz?
– Sonuç, kenar‐oranı b/a faktörüyle ifade edilmiştir; özel bir oran (örneğin karede b/a=1) verilmedikçe genel form budur. - Eğer dikdörtgenler kare ise ne olur?
– O hâlde b/a=1 alınır ve \tan x+\tan y=5/2 sonucu elde edilir. - C noktasını nasıl seçtik?
– Diyagonalın üçüncü dikey bölme çizgisini kestiği noktadan tabana indirilen düşey projeksiyon olarak. - A–C doğrultusunun yatay olduğunu nasıl biliyoruz?
– A ve C taban çizgisinde, yani aynı yükseklikte bulunurlar.
Bir sonraki adım olarak dikdörtgenlerin boyutları verildiğinde (örneğin a=3 cm, b=2 cm) bu formülü nasıl sayısal olarak uygulayabileceğinizi görmek ister misiniz?