10 sınıf sayma ve olasılık çözümlü sorular
Soru: 10. sınıf sayma ve olasılık — çözümlü sorular
Cevap: Aşağıda 10. sınıf düzeyinde sayma ve olasılık konularını kapsayan seçilmiş 8 çözümlü örnek bulunmaktadır. Her soru adım adım çözülmüş; gerekli formüller ve kısa açıklamalar verilmiştir.
İçindekiler
1. Temel Formüller ve Kavramlar
- Faktöriyel: n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1
- Permütasyon (sıralama): P(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}
- Kombinasyon (seçim): C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
- Eşit olasılıklı deney: P(A) = \dfrac{\text{başarılı durum sayısı}}{\text{tüm durum sayısı}}
- Tamamlayıcı olay: P(\text{en az biri}) = 1 - P(\text{hiçbiri})
2. Çözümlü Sorular
Soru 1 — (Permütasyon)
Bir rafta 5 farklı kitap var. Bu kitaplar kaç farklı şekilde sıraya dizilebilir?
Çözüm:
- Hepsi farklı ve sıraya diziliyor: 5! = 120.
- Cevap: 120.
Soru 2 — (Dairesel Permütasyon)
6 arkadaş yuvarlak bir masaya oturuyor. Kaç farklı oturma düzeni vardır? (sadece göreli sıra önemli)
Çözüm:
- Dairesel permütasyonda pozisyonlar göreli olduğundan (n-1)! formülü kullanılır.
- (6-1)! = 5! = 120.
- Cevap: 120.
Soru 3 — (Kombinasyon)
7 öğrenciden 3 kişilik bir grup seçilecek. Kaç farklı grup seçilebilir?
Çözüm:
- Sıra önemli değil → kombinasyon: C(7,3) = \dfrac{7!}{3!4!} = 35.
- Cevap: 35.
Soru 4 — (Tekrarlı/Tekrarsız Seçimler)
Alfabetik farklı 4 harf (A,B,C,D) kullanılarak 4 harfli diziler oluşturulacak.
a) Harfler tekrarlanabilir ise toplam kaç dizi olur?
b) Harfler tekrarlanamaz ise kaç dizi olur?
Çözüm:
a) Her pozisyona 4 seçenek: 4^4 = 256.
b) Tekrarsız ve tüm harfler kullanılıyor: 4! = 24.
- Cevaplar: (a) 256, (b) 24.
Soru 5 — (Zar Örneği)
İki adil zar atılıyor. Toplamın 7 olma olasılığı nedir?
Çözüm:
- Toplam 36 eşit durum var. Toplamı 7 yapan (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 durum.
- P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.
- Cevap: \dfrac{1}{6}.
Soru 6 — (Tamamlayıcı Olay)
3 kere yazı-tura atılıyor. En az bir kez yazı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
- Hiç yazı gelmeme (tümü tura) olayı olasılığı (\tfrac{1}{2})^3 = \tfrac{1}{8}.
- En az bir yazı: 1 - \tfrac{1}{8} = \tfrac{7}{8}.
- Cevap: \tfrac{7}{8}.
Soru 7 — (Binom Olasılığı)
Başarı olasılığı p=0.3 olan bir deneme 4 kez tekrarlanıyor. Tam olarak 2 başarı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
- Binom formülü: P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}.
- P(X=2) = C(4,2) (0.3)^2 (0.7)^2 = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.49 = 6 \cdot 0.0441 = 0.2646.
- Cevap: 0.2646 (≈ %26.46).
Soru 8 — (Karışık: Komite Seçimi)
5 erkek ve 4 kadın arasından rastgele 3 kişilik bir komite seçiliyor. Komitenin tam olarak 2 kadın olması olasılığı nedir?
Çözüm:
- İstenen durum sayısı: C(4,2) \cdot C(5,1) = 6 \cdot 5 = 30.
- Tüm seçimler: C(9,3) = 84.
- Olasılık: P = \dfrac{30}{84} = \dfrac{5}{14}.
- Cevap: \dfrac{5}{14}.
3. Önemli Formüller ve Özet Tablosu
| Konu | Formül | Kısa Açıklama |
|---|---|---|
| Faktöriyel | n! | n elemanın toplam sıralama sayısı |
| Permütasyon | P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!} | k'lı sıralama |
| Kombinasyon | C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} | Sırasız seçim |
| Eşit Olasılık | P(A)=\dfrac{\#A}{\#\text{evren}} | Temel olasılık oranı |
| Binom | C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} | Bağımsız tekrarlı denemeler |
4. Özet ve İpuçları
- Sıra önemli ise permütasyon, sıra önemsiz ise kombinasyon kullanın.
- Dairesel düzenlemelerde pozisyon göreli olduğundan (n-1)! kullanılır.
- Olasılık sorularında önce tüm durum sayısını, sonra istenen durum sayısını sayın.
- “En az biri” gibi sorularda tamamlayıcı olay yöntemini kullanmak çoğu zaman daha kolaydır.
- Binom sorularında formülü ezberleyin ve kombinasyon kısmını unutmayın.
Özetle, yukarıdaki örnekler 10. sınıf seviyesinde sık karşılaşacağınız soru tiplerini kapsar. İsterseniz bu türden daha zor örnekler veya test soruları hazırlayıp çözümlerini adım adım gönderebilirim.
Önemli sonuçlar: Permütasyon ve kombinasyon ayrımına dikkat, tamamlayıcı olaylar pratik çözüm sağlar, binom formülünü uygulamayı unutmayın.