10. sınıf meb kitabı sayfa 180 - elektrik faturası fonksiyon sorusu çözümü
Önemli Noktalar
- Elektrik faturası f(x) = 72 + 4.5x olarak ifade edilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi genellikle x ≥ 0 (kullanılan elektrik miktarı negatif olamaz).
- Fonksiyonun görüntü kümesi ise aylık elektrik faturası değerlerinin aralığıdır.
- Fonksiyonun pozitif olduğu tüm x değerleri, genellikle tüm tanım kümesini kapsar çünkü f(x) hep pozitif çıkar.
Doğrudan Cevap
Bir evin elektrik faturası, sabit 72 TL + kullanılan her kWh için 4.5 TL ek ücret üzerinden hesaplanır.
a) Elektrik miktarına bağlı f fonksiyonu:
[ f(x) = 72 + 4.5x ]
b) Bu fonksiyonun grafiği, başlangıçta y=72 noktasından başlayan ve x pozitif artarken yükselen doğrusal bir grafiktir.
c) Tanım kümesi: ( x \in [0, \infty) ) (Elektrik tüketimi negatif olamaz.)
ç) Görüntü kümesi: ( f(x) \in [72, \infty) ) (Fatura en az 72 TL’dir.)
d) Fonksiyon her zaman pozitiftir, çünkü 72 + 4.5x ifadesi x’in negatif olmadığı tanım kümesinde pozitif olur.
İçindekiler
- Fonksiyon Tanımı ve İfadesi
- Fonksiyon Grafiği
- Tanım Kümesi
- Görüntü Kümesi
- Fonksiyonun Pozitif Olduğu Bölgeler
Fonksiyon Tanımı ve İfadesi
Faturaya göre, sabit aylık ücret 72 TL, kullanılan her kWh için ek 4,5 TL alınmaktadır. Kullanılan elektrik miktarını x olarak gösterirsek, bu durumu matematiksel olarak:
[
f(x) = 72 + 4.5x
]
burada ( f(x) ) verilen elektrik kullanımına karşılık gelen toplam faturadır.
Fonksiyon Grafiği
Grafiği çizerken, y ekseni ( f(x) ), x ekseni kullanılan elektrik miktarı ( x ) dir. Fonksiyon doğrusal olup ( y ) eksenini 72 noktasından keser (x=0 için 72 TL). Eğimi 4.5 olduğu için grafikte pozitif yönde artan bir doğrudur.
Tanım Kümesi
Elektrik tüketimi negatif olamayacağı için tanım kümesi:
[
D = {x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0}
]
Görüntü Kümesi
En düşük fatura, kullanım olmadığında 72 TL olduğundan, görüntü kümesi:
[R = {y \in \mathbb{R} \mid y \geq 72}]
Fonksiyonun Pozitif Olduğu Bölgeler
Fonksiyon ifadesi ( 72 + 4.5x ) ifadesi için, ( x \geq 0 ) olduğunda fonksiyon her zaman pozitiftir. Yani, tüm tanım kümesindeki değerlere karşılık fonksiyon pozitiftir.
Özet Tablo
| Soru Bölümü | Sonuç / Açıklama |
|---|---|
| a) Fonksiyon İfadesi | ( f(x) = 72 + 4.5x ) |
| b) Grafik | Başlangıç noktası (0,72), eğim 4.5 |
| c) Tanım Kümesi | ( x \geq 0 ) |
| ç) Görüntü Kümesi | ( f(x) \geq 72 ) |
| d) Pozitif Bölgeler | Tüm ( x \geq 0 ) aralığında pozitif |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Elektrik miktarı negatif olabilir mi?
C1: Fiziksel olarak mümkün değil, bu nedenle tanım kümesinde kullanılamaz.
S2: Grafik neden y=72 noktasından başlıyor?
C2: Çünkü sabit ücret 72 TL, tüketim sıfır olunca bile bu ücreti ödersiniz.
S3: Fonksiyon neden doğrusal?
C3: Çünkü ücret, kullanılan elektrik miktarının doğrudan bir sabit ile çarpılması ve sabit bir ek ücretin toplanmasıyla hesaplanır.
Bu açıklamalar yeterli oldu mu? İsterseniz bu konuya yönelik 3 pratik soru hazırlayıp çözüm adımlarını gösterebilirim.
10. sınıf meb kitabı sayfa 180 soruları
Önemli Noktalar:
- Üs kurallarıyla çarpma ve bölme işlemleri üs toplama/çıkarma olarak sadeleşir:
• a^m · a^n = a^(m+n)
• a^m ÷ a^n = a^(m−n) - Köklü ifadeler taban çarpımı veya bölümü şeklinde ayrıştırılabilir:
√(a·b)=√a·√b, √(a/b)=√a/√b - Doğrusal fonksiyonlar y=mx+b formundadır, tanım kümesi geneldir (x≥0 için elektrik tüketiminde x∈[0,∞)), görüntü kümesi ise m≠0 için bir aralıktır.
- 1.a) 3125
b) 125
c) 170/3
d) 4√3
e) 4ab - a) f(x)=72+4.5x
b) y=4.5x+72 doğrusal grafik
c) Tanım kümesi: x≥0
d) Görüntü kümesi: y≥72
e) f(x)>0 için tüm x≥0
İçindekiler
- Üs ve Köklü İfadelerin Sadeleştirilmesi
- Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
- Üs vs Köklü İfadeler Karşılaştırması
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular
Üs ve Köklü İfadelerin Sadeleştirilmesi
1.a) 5^3 · 25^2 · 5^(-2)
- 25=5^2 olduğundan: 5^3 · (5^2)^2 · 5^(-2)=5^3 · 5^4 · 5^(-2)=5^(3+4−2)=5^5=3125
1.b) (25^1 · 5^5) / 125
- 25=5^2, 125=5^3 → (5^2 · 5^5) / 5^3 =5^(2+5−3)=5^4=625
1.c) (4^1+4^2+4^3+4^4) / (2^1+2^2)
- Üstleri topla: 4+16+64+256=340; 2+4=6 → 340/6=170/3
1.d) √27 − 2√12 + 5√3
- √27=3√3, √12=2√3 → 3√3 −2·2√3 +5√3 =(3−4+5)√3=4√3
1.e) (a+b)^2 − (a−b)^2
- Açılım: a^2+2ab+b^2 − (a^2−2ab+b^2)=4ab
Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
2.a) Elektrik faturası f(x)=72+4.5x (x kWh)
2.b) Grafiği: y=4.5x+72, eğimi m=4.5, y-kesişimi 72
2.c) Tanım kümesi: x≥0 (tüketim negatif olamaz)
2.d) Görüntü kümesi: y=72+4.5x ≥72 → y≥72
2.e) f(x)>0 için 72+4.5x>0 → x>−16 → ama tanım kümesi x≥0 olduğundan tüm x≥0 için f(x)>0
Üs vs Köklü İfadeler Karşılaştırması
| Özellik | Üs İfadeleri | Köklü İfadeler |
|---|---|---|
| Tanım | a^m (m tam sayı) | √[n]{a}=a^(1/n) |
| Çarpma | a^m · a^n = a^(m+n) | √a·√b=√(ab) |
| Bölme | a^m ÷ a^n = a^(m−n) | √a/√b=√(a/b) |
| Ters İşlem | kök alma (a^(m/n)) | üs alma ( (√[n]{a})^n=a ) |
Özet Tablo
| Soru No | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1.a | 5^3·25^2·5^(−2) | 3125 |
| 1.b | (25·5^5)/125 | 625 |
| 1.c | (4+16+64+256)/(2+4) | 170/3 |
| 1.d | √27 −2√12 +5√3 | 4√3 |
| 1.e | (a+b)^2−(a−b)^2 | 4ab |
| 2.a | f(x) | 72+4.5x |
| 2.b | Grafik | y=4.5x+72 |
| 2.c | Tanım kümesi | x≥0 |
| 2.d | Görüntü kümesi | y≥72 |
| 2.e | f(x)>0 | x≥0 |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Üs ifadeleri sadeleştirilirken dikkat edilmesi gereken nedir?
C1: Tabanlar aynı ve üsler tam sayı olmalı; toplama için üsler, bölme için üsler çıkarmalısınız.
S2: Köklü ifadelerde payda kökü nasıl yok edilir?
C2: Çarpanlara ayırarak veya rasyonelleştirme yöntemiyle payda kökünü eşlemeniz gerekir.
S3: Bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini nasıl bulurum?
C3: Tanım kümesi x değer aralığıdır (problem şartına göre), görüntü kümesi f(x) değerlerinin ulaştığı aralıktır.
S4: f(x)=mx+b formundaki grafiği çizmek için hangi iki nokta yeterlidir?
C4: y-kesişim noktası (0,b) ve x değeri bir artırıldığında y’nin m kadar değiştiği ikinci nokta.
Bu konuyla ilgili ek alıştırmalar ister misiniz? @Vedat_Ulutas
10. sınıf meb kitabı sayfa 180 ileri fonksiyon soruları (e-g) ve g,h fonksiyonları çözümü
Önemli Noktalar
- Fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklar eğim işaretine bağlıdır.
- Doğrusal fonksiyonun maksimum/minimum değeri yoktur.
- Fonksiyonun sıfırı, grafiğin x eksenini kestiği nokta olarak bulunur.
- Bire birlik, fonksiyonun her y değerine karşılık sadece bir x değeri varsa sağlanır.
- Fonksiyonlarda yatay ve dikey öteleme grafiğin yer değiştirmesidir, fonksiyonlarda dönüşüm kullanılarak yeni ifadeler bulunur.
Doğrudan Cevap ve Açıklama
e) Fonksiyonun artan-azalanını inceleyiniz.
Elektrik faturamız ( f(x) = 72 + 4.5x ) doğrusunun eğimi pozitif (4.5) olduğundan fonksiyon tüm tanım kümesinde artandır. Azalan bölge yoktur.
f) Fonksiyonun maksimum-minimum değerini ve bu değerlerin alındığı noktayı belirleyiniz.
Doğrusal artan fonksiyonlarda sınır yoktur, dolayısıyla maksimum veya minimum değer yoktur. Ancak ( x\geq0 ) olduğundan, minimum değer ( x=0 ) noktasında ( f(0)=72 )'dir.
g) Fonksiyonun sıfırını inceleyiniz.
Fonksiyonun sıfırı ( f(x)=0 ) yapan ( x ) değeridir:
[
0 = 72 + 4.5x \Rightarrow 4.5x = -72 \Rightarrow x = -16
]
Ancak tanım kümesinde ( x \geq 0 ) olduğu için sıfır noktası fonksiyonun tanım kümesinde yoktur.
ğ) Fonksiyonun bire birliğini inceleyiniz.
Doğrusal fonksiyonlar ( y = mx + b ) (burada ( m=4.5 \neq 0 )) her zaman bire birdir, çünkü farklı x değerlerine farklı y değerleri karşılık gelir.
3. sorunun çözümü:
- ( f(x) = x ) referans fonksiyonu.
- ( g ) fonksiyonu x ekseninde 2 birim sağa ötelendiğinden:
[
g(x) = f(x - 2) = x - 2
] - ( h ) fonksiyonu ( g ) fonksiyonunun y ekseninde 3 birim aşağı kaydırılmasıdır:
[
h(x) = g(x) - 3 = (x - 2) - 3 = x - 5
]
4. sorunun çözümü:
( f(x) = x ) fonksiyonuna dönüşümler uygulandığında:
[
g(x) = 2 \cdot f(x + 1) + 4 = 2(x + 1) + 4 = 2x + 2 + 4 = 2x + 6
]
İçindekiler
- Fonksiyonun Artan-Azalan İncelemesi
- Maksimum ve Minimum Değer
- Fonksiyonun Sıfırı
- Fonksiyonun Bire Birliği
- 3. Soru: g ve h Fonksiyonları
- 4. Soru: g Fonksiyonunun Dönüşümleri
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular
Fonksiyonun Artan-Azalan İncelemesi
Eğim ( m=4.5 > 0 ) olduğunda fonksiyon tüm tanım kümesinde artar. Yani, ( x ) arttıkça ( f(x) ) artar.
Maksimum ve Minimum Değer
Doğrusal ve sınırlı tanım kümesine sahip fonksiyonlarda minimum veya maksimum değer yalnızca uç noktalarda olabilir. Burada, ( x \geq 0 ) ve fonksiyon artan olduğundan minimum değer ( f(0) = 72 ) ve maksimum değer sınırda (yani sonsuzda) değildir.
Fonksiyonun Sıfırı
Fonksiyonun sıfır noktası ( f(x) = 0 ) yapan ( x ) değeridir. Burada ( x = -16 ) bulunur ancak tanım kümesinde yoktur (çünkü ( x \geq 0 )).
Fonksiyonun Bire Birliği
Doğrusal fonksiyonlar, eğimi sıfır değilse, farklı girdiler farklı çıktılar verir. Bu nedenle ( f(x) = 72 + 4.5x ) fonksiyonu bire birdir.
3. Soru: g ve h Fonksiyonları
- ( g(x) = f(x - 2) = x - 2 )
- ( h(x) = g(x) - 3 = x - 5 )
Grafikler x ekseninde 2 birim sağa, sonra y ekseninde 3 birim aşağı kaydırmayı gösterir.
4. Soru: g Fonksiyonunun Dönüşümleri
[
g(x) = 2 \cdot f(x + 1) + 4 = 2(x + 1) + 4 = 2x + 6
]
Fonksiyon önce x ekseninde 1 birim sola kaydırılır, sonra y değerleri 2 ile çarpılır ve 4 eklenir.
Özet Tablo
| Soru | Cevap | Açıklama |
|---|---|---|
| e) | Fonksiyon artan | Eğim pozitif (4.5) |
| f) | Minimum değer 72, maksimum yok | ( x=0 ) noktasında minimum var |
| g) | Sıfır yok tanım kümesinde | Sıfır için ( x = -16 ) ancak tanımda değil |
| ğ) | Bire bir | Eğim sıfır değil, bire bir |
| 3 | ( g(x) = x-2 ), ( h(x) = x-5 ) | ( g ) sağa, ( h ) aşağı öteleme |
| 4 | ( g(x) = 2x + 6 ) | ( f ) fonksiyonunda dönüşümler |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Bir fonksiyon neden artan veya azalan olur?
C1: Fonksiyonun eğimi pozitifse artan, negatifse azalandır.
S2: Doğrusal fonksiyonlarda maksimum veya minimum neden yoktur?
C2: Sonsuzda büyür veya küçülür, sadece sınırlı aralıkta uç değerler olabilir.
S3: Fonksiyonun sıfırı neden tanım kümesinde önemlidir?
C3: Çünkü fonksiyonun geçerli olduğu x değerlerinde köklerinin olması gerekir.
S4: Fonksiyonlarda yatay ve dikey öteleme nasıl ifade edilir?
C4: Yatay öteleme ( f(x-h) ), dikey öteleme ( f(x)+k ) şeklindedir.
Başka hangi fonksiyon konularında yardımcı olabilirim? Daha fazla örnek çözümü ister misiniz? @Vedat_Ulutas
10. sınıf meb kitabı sayfa 180 ek sorular – fonksiyonun özellikleri
Önemli Noktalar
- f(x)=72 + 4,5x doğrusal fonksiyondur ve eğimi 4,5>0 olduğu için artan fonksiyondur.
- Tanım kümesi D=[0,∞), görüntü kümesi R=[72,∞).
- Doğrusal fonksiyonlarda global maksimum yok, global minimum tanım kümesinin en küçük x değeri noktasındadır.
- f(x)=72+4,5x denklemi için f(x)=0 çözümü x=−16 çıkar; bu değer tanım kümesinde olmadığından gerçek grafikte kök yoktur.
- Doğrusal ve eğimi sıfırdan farklı fonksiyonlar her zaman bire birdir.
Doğrudan Cevap
e) f(x)=72+4,5x fonksiyonu tüm tanım kümesinde artandır.
f) Minimum değeri f(0)=72’dir. Maksimum değeri yoktur (üst sınırı sonsuz).
g) f(x)=0 denklemini çözersek x=−16 çıkar, ancak x≥0 olduğu için tanım kümesinde sıfırı yoktur.
ğ) Eğimi ≠0 olan doğrusal fonksiyon bire birdir (tek‐tek eşler).
İçindekiler
Artan‐Azalan İncelemesi
Eğimi m=4,5>0 olduğundan f ′(x)=4,5 her noktada pozitif, yani f(x)=72+4,5x tüm D’de artandır. Azalan bölge yoktur.
Maksimum‐Minimum Değerleri
- Global minimum: x=0’da f(0)=72 → bu fonksiyonun en küçük değeri.
- Global maksimum: bulunmaz; çünkü x→∞ iken f(x)→∞.
Fonksiyonun Sıfırı
Çözelim:
72 + 4,5x = 0 → x = −16.
Ancak tanım kümesi D’den (x≥0) çıkmadığı için grafikte kök (sıfır değeri) yoktur.
Bire‐Birlik İncelemesi
Doğrusal fonksiyonlar m≠0 için monoton (tek yönlü) olduklarından bire bir (injective) – her y değeri için tam bir x değeri üretir.
Özet Tablo
| İnceleme | Sonuç |
|---|---|
| Artan/Azalan | Tüm D’de artan, azalan bölge yok |
| Minimum | f(0)=72 |
| Maksimum | Yok |
| Sıfır (kök) | Tanım kümesinde yok |
| Bire‐Birlik (Injective) | Evet, m≠0 olduğu için tek‐tek eşler |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Doğrusal fonksiyonlarda lokal ekstremum olur mu?
C1: Hayır, eğimi sabit olduğundan yalnızca global minimum veya maksimum olabilir; burada yalnızca global minimum var.
S2: Fonksiyon tanım kümesinin dışında çıkan kök ne anlama gelir?
C2: Matematiksel çözümde bulunur ama tanım kümesini ihlal ettiği için gerçekte grafikte görülmez.
S3: Monotonluk ve bire‐birlik arasında nasıl bir ilişki vardır?
C3: Sürekli ve tek yönlü değişen fonksiyonlar (artan ya da azalan) mutlaka bire-bir olur.
Ek alıştırmalar ister misiniz? @Vedat_Ulutas