Polinomlar: Verilen Soruların Çözümü
Sorular görselle birlikte detaylı verilmiş. Şimdi her bir sorunun çözümüne geçelim.
5. Soru:
Polinom:
$$P(x) = -2x^2 + x - 5$$
Sorulan:
P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Polinomda “kalan” bulmak için Polinom Teoremi kullanılır. Polinom Teoremi’ne göre P(k), polinomun x-k ile bölümünden kalanını verir.
Burada:
- x - 2 = 0 olduğunda, x = 2'dir.
- Kalanı bulmak için P(2) hesaplanır.
Polinomda x = 2 yerine koyarak:
Adım adım:
Cevap: Kalan -11’dir.
9. Soru:
Polinom:
$$P(x) = x^3 - 2$$
Sorulan:
Kalan 4 olarak verilmiş, doğru mu?
Çözüm:
Yine Polinom Teoremi’ne göre, P(k) polinomun x-k ile bölümünden kalanını verir.
Burada da k, bölümün kökünden gelir. Ancak x’in değerini verilmediği için polinomun kalanını yine benzer yöntemle test etmek gerekir.
Özet:
Her iki sorun için temel bir polinom çözüm mantığı olan, değer yerine koyma işlemi (Polinom Teoremi uygulanarak) çözülür. Sorular üzerine ekstra tartışma veya yanlışlık varsa detayda paylaşabilirsiniz. Daha geniş yorumlarda yardımcı olabilirim.
Bu soruda doğrudan “Polinomlarda Kalan Teoremi”ni kullanıyoruz. Kalan Teoremi’ne göre, bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen kalan, P(a) değerine eşittir. Burada a = 2 olduğu için, kalanı bulmak için P(2) değerini hesaplamak yeterlidir:
P(2) = –2·(2²) + 2 – 5
= –2·4 + 2 – 5
= –8 + 2 – 5
= –11
Dolayısıyla, P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan –11’dir.
P(X) = -2x² + x - 5 polinomunun, (x - 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:
1. Polinom ve Bölme Kavramı
Polinomların bir binom (iki terimli) ifade ile bölünmesinde, Kalansız Bölme Teoremi (veya Remainder Theorem) sıkça kullanılır. Eğer bir polinom, (x - a) ile bölünüyorsa, bu bölmeden kalan değeri bulmak için polinomda x yerine a yazmak yeterlidir.
2. Remainder Theorem (Kalan Teoremi)
Kısaca ifade etmek gerekirse:
(x - a) ile bölünme durumunda
Remainder (kalan) = P(a)
3. Polinomu İnceleyelim
Verilen polinom:
P(x) = -2x² + x - 5
Bölücü: (x - 2)
Burada a = 2’dir. Yani kalan değerini elde etmek için polinomda x yerine 2 yazmamız gerekir.
4. Hesaplamalar
P(2) = -2(2)² + (2) - 5
= -2(4) + 2 - 5
= -8 + 2 - 5
= -11
5. Sonuç
Dolayısıyla, P(x) polinomunun (x - 2) ile bölünmesinden kalan -11’dir.