10 SINIF- MATEMATIK fo) =-4 X+2 f) = x-2 f) =(x-3)2 + 4 Temsili TFanksyonunun Cebirsel Görüntü Kümesi f: Tanim Kümesi Temsili f-1 Fonksivonunun Cebirsel Görüntü Kümesi f-1: Tanim Kümesi ermslleri verilen fonksiyonların bire bir ve örten oldukları aralıklari ve fonksiyonların terslerinin cebirsel ter. Grafik 2 2. Grafiginx 1 Gratik 1b Elif in daha mVx)=.
SORU:
Verilen fonksiyonların bire bir ve örten oldukları aralıklar ile fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerini, tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun tersinin cebirsel gösterimi için, fonksiyonun bire bir (injective) ve örten (surjective) olması gerekir.
- Bire bir fonksiyon: Her x’e farklı y değeri karşılık gelir.
- Örten fonksiyon: Görüntü kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu tüm değerleri kapsar.
Ters fonksiyon bulmak için;
y = f(x) ise, x ve y yer değiştirip, x açısından çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) = -4x + 2 Fonksiyonu İçin
- Tanım Kümesi: Bütün gerçel sayılar \mathbb{R}
- Fonksiyon doğrusal ve bire birdir.
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R} (Çünkü doğru sonsuza kadar devam eder)
- Ters fonksiyon:
y = -4x + 2 \Rightarrow x = -4y + 2 değil; x değişkeni y ve y değişkeni x ile yer değiştirmeli:
x = -4y + 2 \Rightarrow -4y = x - 2 \Rightarrow y = \frac{2 - x}{4}
Yani,f^{-1}(x) = \frac{2 - x}{4} - Ters fonksiyonun tanım kümesi: Görüntü kümesi \mathbb{R}
- Ters fonksiyonun görüntü kümesi: Tanım kümesi \mathbb{R}
Adım 2 — f(x) = x - 2 Fonksiyonu İçin
- Tanım Kümesi: \mathbb{R}
- Fonksiyon doğrusal, bire birdir.
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R}
- Ters fonksiyon:
y = x - 2 \Rightarrow x = y - 2, yer değiştirerek,
x = y - 2 \Rightarrow y = x + 2f^{-1}(x) = x + 2 - Ters fonksiyonun tanım kümesi: \mathbb{R}
- Ters fonksiyonun görüntü kümesi: \mathbb{R}
Adım 3 — f(x) = (x - 3)^2 + 4 Fonksiyonu İçin
- Bu fonksiyonun tam tanım kümesi \mathbb{R} olmasına rağmen, bu fonksiyon her x için tekil y vermediği için, yani bire bir değil, ters fonksiyon doğrudan yoktur.
- Ancak, tanım kümesi uygun şekilde sınırlandırılırsa (örneğin x \geq 3 veya x \leq 3), fonksiyon bire bir olur.
- Görüntü kümesi: Fonksiyonun minimum değeri 4’tür çünkü kare ifadeler daima sıfır veya pozitiftir. O halde, görüntü kümesi [4, \infty)
- Ters fonksiyon için, y = (x - 3)^2 + 4;y - 4 = (x - 3)^2 \Rightarrow x - 3 = \pm \sqrt{y - 4}
- Tanım kümesi kısıtlandığı durumda (örneğin x \geq 3 için),f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 4}
- Ters fonksiyonun tanım kümesi: [4, \infty)
- Ters fonksiyonun görüntü kümesi: [3, \infty) (tanım kümesi olarak verilen aralık)
Özet Tablosu:
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi | Fonksiyon Tersi | Ters Fonksiyon Tanım Kümesi | Ters Fonksiyon Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = -4x + 2 | \mathbb{R} | \mathbb{R} | f^{-1}(x) = \frac{2 - x}{4} | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| f(x) = x - 2 | \mathbb{R} | \mathbb{R} | f^{-1}(x) = x + 2 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| f(x) = (x-3)^2 + 4 (kısıtlı) | x \geq 3 | [4, \infty) | f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 4} | [4, \infty) | [3, \infty) |
CEVAP:
Yukarıda her fonksiyon için tanım kümesi, görüntü kümesi, ters fonksiyon ve ters fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri verilmiştir.
Özellikle f(x) = (x-3)^2 + 4 fonksiyonunda bire birlik için tanım kümesi kısıtlanmalıdır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Verilen fonksiyonlar
- f_1(x)=-4x+2
- f_2(x)=x-2
- f_3(x)=(x-3)^2+4
için tanım kümesi, görüntü kümesi, fonksiyonların bire-bir (injeksiyon) ve örten (surjeksiyon) olup olmadıkları, varsa ters fonksiyonlarının cebirsel ifadeleri ve terslerin tanım / görüntü kümelerini bulunuz. (Quadratic için gerekirse tanım kısıtlaması veriniz.)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Lineer fonksiyonların tersi: y=ax+b ise x=\dfrac{y-b}{a} ve f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a} ( a\neq0 ).
- Kuvvetli polinomların tanım kümesi: Tüm reel sayılar \mathbb{R}.
- Quadratik fonksiyonun görüntüsü: f(x)=(x-h)^2+k için görüntü [k,\infty).
- Ters fonksiyon için: Eğer çözüm iki değer veriyorsa tek değerli olması için orijinal fonksiyonun tanım kümesi kısıtlanmalıdır (monotonluk sağlanmalı).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f_1(x)=-4x+2 : Tanım ve Görüntü
Tanım: Tüm reel sayılar, yani \mathbb{R}.
Görüntü: Doğrusal ve eğimi -4\neq0 olduğu için görüntü tüm \mathbb{R}.
İnceleme (bire-bir/örten): Eğimi sıfır olmadığı için bire-birdir (injeksiyon). Görüntüsü \mathbb{R} olduğu için örten (surjeksiyon) — yani bijektiftir.
Tersini bulma:
y=-4x+2
-4x=y-2
x=\dfrac{y-2}{-4}=\dfrac{2-y}{4}
Bu yüzden f_1^{-1}(x)=\dfrac{2-x}{4}.
Tersin tanım kümesi: Orijinalın görüntüsü \mathbb{R} olduğundan tersin tanım kümesi \mathbb{R}.
Tersin görüntüsü: Orijinalın tanım kümesi \mathbb{R}.
Adım 2 — f_2(x)=x-2 : Tanım ve Görüntü
Tanım: \mathbb{R}.
Görüntü: Eğimi 1\neq0 olduğu için görüntü \mathbb{R}.
İnceleme: Eğimi sıfır olmadığı için bire-birdir. Görüntü \mathbb{R} olduğu için örten. Yani bijektiftir.
Tersini bulma:
y=x-2
x=y+2
Bu yüzden f_2^{-1}(x)=x+2.
Tersin tanım kümesi: \mathbb{R}.
Tersin görüntüsü: \mathbb{R}.
Adım 3 — f_3(x)=(x-3)^2+4 : Tanım ve Görüntü
Tanım: Polinom olduğu için \mathbb{R}.
Görüntü: Parabolun tepe noktası x=3 ve minimum değer 4 olduğundan görüntü [4,\infty).
İnceleme (bire-bir/örten): Parabol simetrik olduğu için farklı iki x değeri aynı y verebilir (ör: x=2 ve x=4 için aynı y). Bu yüzden orijinal tanım kümesinde bire-bir değildir. Görüntü [4,\infty) olduğundan örten değildir (örten olması için görüntü \mathbb{R} olmalı).
Tersini cebirsel olarak çözme:
y=(x-3)^2+4
(x-3)^2=y-4
x-3=\pm\sqrt{y-4}
x=3\pm\sqrt{y-4}
Bu iki değerli ifade, tek bir fonksiyon vermez; dolayısıyla tüm \mathbb{R} üzerinde ters yoktur. Ters fonksiyon için tanım kümesini kısıtlamak gerekir.
Tanım kümesi kısıtlamaları ve tersler:
- Eğer tanım kümesini x\ge3 (sağ kanat) ile sınırlarsak fonksiyon monoton artar ve ters:
f_3^{-1}(x)=3+\sqrt{x-4} olacak, tanım kümesi x\in[4,\infty), görüntü [3,\infty). - Eğer tanım kümesini x\le3 (sol kanat) ile sınırlarsak fonksiyon monoton azalır ve ters:
f_3^{-1}(x)=3-\sqrt{x-4} olacak, tanım kümesi x\in[4,\infty), görüntü (-\infty,3].
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tanım Kümesi
- Tanım: Fonksiyonun girdi olarak alabileceği tüm değerler kümesi.
- Bu problemde: Doğrusal ve polinom fonksiyonların doğal tanımı \mathbb{R}.
2. Görüntü (Değer) Kümesi
- Tanım: Fonksiyonun alabileceği tüm değerlerin kümesi.
- Bu problemde: Doğrusal fonksiyonlar için \mathbb{R}, parabol için [4,\infty).
3. Bire-bir (İnjeksiyon) ve Örten (Surjeksiyon)
- Tanım: Bire-bir her çıktının tek bir girdisi vardır. Örten, görüntü kümesinin hedef küme ile örtüşmesidir.
- Bu problemde: Lineer fonksiyonlar bijektif; parabola orijinal tanım kümesinde değil.
SIK YAPILAN HATALAR:
Parabolün tersini doğrudan almak
- Yanlış: f_3^{-1}(x)=3\pm\sqrt{x-4} ifadesini bütün \mathbb{R} için ters olarak kabul etmek.
- Doğru: Parabolün tanım kümesini x\ge3 veya x\le3 ile kısıtlayıp tek değerli ters elde etmek gerekir.
- Neden yanlış: İki değerli sonuç tek bir fonksiyon tanımlamaz.
- Düzeltme: Tanım kümesini kısıtlayıp monotonluğu sağla; sonra tek kökü seç.
CEVAP:
-
f_1(x)=-4x+2
- Tanım kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü kümesi: \mathbb{R}
- Bire-bir: EVET, Örten: EVET (bijektif)
- Ters fonksiyon: f_1^{-1}(x)=\dfrac{2-x}{4}
- f_1^{-1} tanım kümesi: \mathbb{R}, görüntü kümesi: \mathbb{R}
-
f_2(x)=x-2
- Tanım kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü kümesi: \mathbb{R}
- Bire-bir: EVET, Örten: EVET (bijektif)
- Ters fonksiyon: f_2^{-1}(x)=x+2
- f_2^{-1} tanım kümesi: \mathbb{R}, görüntü kümesi: \mathbb{R}
-
f_3(x)=(x-3)^2+4
- Tanım kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü kümesi: [4,\infty)
- Bire-bir: HAYIR, Örten: HAYIR
- Genel ters yok (iki-değerli): x=3\pm\sqrt{y-4}
- Eğer tanım kümesini x\ge3 ile kısıtlarsak: ters f_3^{-1}(x)=3+\sqrt{x-4}, tersin tanım kümesi [4,\infty), görüntü [3,\infty).
- Eğer tanım kümesini x\le3 ile kısıtlarsak: ters f_3^{-1}(x)=3-\sqrt{x-4}, tersin tanım kümesi [4,\infty), görüntü (-\infty,3].
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?