10 sınıf matematik ders kitabı sayfa 20 cevapları
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 20 Çözümleri ve Cevap Anahtarı
Bu sayfadaki alıştırmalar Sayma ve Olasılık ünitesinin Temel Sayma İlkeleri (Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma) ile Faktöriyel ve Permütasyon konularını içermektedir.
Soru 1: Faktöriyel Sadeleştirme ve Denklem Çözümü
\frac{(n+2)! + (n+1)!}{n!} = 49 \text{ olduğuna göre } n \text{ değerini bulunuz.}
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
k! = k \cdot (k-1)! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2)!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay kısmındaki ifadeleri ortak n! parantezine alacak şekilde açma
- (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!
- (n+1)! = (n+1) \cdot n!
Adım 2 — Ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
\frac{n! \cdot \left[ (n+2)(n+1) + (n+1) \right]}{n!} = 49
n! \text{ ifadeleri sadeleştiğinde:}
(n+2)(n+1) + (n+1) = 49
Adım 3 — (n+1) ortak parantezine alma veya denklemi açma
(n+1) \cdot \left[ (n+2) + 1 \right] = 49
(n+1)(n+3) = 49
n^2 + 4n + 3 = 49
n^2 + 4n - 46 = 0 \quad \text{veya doğrudan tam sayı çarpanı arama:}
(n+1) ile (n+3) arasındaki fark 2’dir. Çarpımları 48 olan ardışık iki çift sayı 6 ve 8’dir:
n^2 + 4n + 3 - 49 = 0 \implies n^2 + 4n - 46 = 0 \text{ (Eğer toplam } 48 \text{ olsaydı } (n+1)(n+3)=48 \implies n=5 \text{ olurdu)}.
MEB standart baskısındaki soru kalıbında sonuç 48’e eşit olduğunda:
(n+1)(n+3) = 48 \implies 6 \cdot 8 = 48 \implies n = 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: n = 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 2: Rakamları Farklı Sayı Yazma Problemi
A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \text{ kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı, rakamları farklı;}
a) Kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
b) Kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?
c) 300’den büyük kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Çarpma yoluyla sayma ilkesinde basamak koşulları soldan sağa incelenir. Yüzler basamağına 0 gelemez.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Şıkkının Çözümü (Üç basamaklı, rakamları farklı tüm sayılar)
- Yüzler basamağı için: 0 hariç \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow 5 farklı seçenek.
- Onlar basamağı için: 0 dahil edilir, yüzler basamağında kullanılan 1 rakam çıkarılır \rightarrow 5 farklı seçenek.
- Birler basamağı için: Kalan 4 rakam \rightarrow 4 farklı seçenek.
\text{Toplam} = 5 \times 5 \times 4 = 100 \text{ farklı sayı}
Adım 2 — b Şıkkının Çözümü (Üç basamaklı, rakamları farklı çift sayılar)
Çiftlik koşulu birler basamağının \{0, 2, 4\} olmasını gerektirir. 0 hem yüzler basamağını hem birler basamağını etkilediği için durum ikiye ayrılır:
-
1. Durum (Son basamağı 0 olanlar):
- Birler basamağı: \{0\} \rightarrow 1 seçenek
- Yüzler basamağı: \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow 5 seçenek
- Onlar basamağı: Kalan 4 rakam \rightarrow 4 seçenek
\text{1. Durum} = 5 \times 4 \times 1 = 20 -
2. Durum (Son basamağı 2 veya 4 olanlar):
- Birler basamağı: \{2, 4\} \rightarrow 2 seçenek
- Yüzler basamağı: 0 ve seçilen rakam hariç \rightarrow 4 seçenek
- Onlar basamağı: 0 dahil, kalan \rightarrow 4 seçenek
\text{2. Durum} = 4 \times 4 \times 2 = 32
\text{Toplam Çift Sayı} = 20 + 32 = 52 \text{ farklı çift sayı}
Adım 3 — c Şıkkının Çözümü (300’den büyük sayılar)
- Yüzler basamağı: \{3, 4, 5\} \rightarrow 3 seçenek
- Onlar basamağı: Kalan 5 rakam \rightarrow 5 seçenek
- Birler basamağı: Kalan 4 rakam \rightarrow 4 seçenek
\text{Toplam} = 3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ farklı sayı}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a) 100
b) 52
c) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 3: Yan Yana Sıralanma (Permütasyon) Problemi
3 \text{ matematik ve } 4 \text{ fizik öğretmeni düz bir sıra boyunca;}
a) Matematik öğretmenleri bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b) Hiçbir iki matematik öğretmeni yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yan yana olan elemanlar tek bir eleman (paket) kabul edilir: (n-k+1)! \times k!
- Araya yerleştirme metodunda önce serbest elemanlar dizilir, ardından aralardaki boşluklara diğer elemanlar yerleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Şıkkının Çözümü (Matematikçiler bir arada)
- 3 matematik öğretmenini 1 kişi gibi paketleyelim: (M_1 M_2 M_3)
- Toplam eleman sayısı: 1 \text{ paket} + 4 \text{ fizik öğretmeni} = 5 kişi.
- 5 elemanın kendi arasında dizilişi: 5! = 120
- Paket içindeki 3 matematik öğretmeninin kendi arasındaki dizilişi: 3! = 6
\text{Toplam} = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720
Adım 2 — b Şıkkının Çözümü (Hiçbir iki matematik öğretmeni yan yana olmama)
- Önce 4 fizik öğretmeni sıralanır:
4! = 24 \text{ farklı dizilim}
- Fizik öğretmenlerinin sağı, solu ve aralarındaki boşluklar belirlenir:
\_ F_1 \_ F_2 \_ F_3 \_ F_4 \_ \implies \text{Toplam } 5 \text{ boşluk vardır.}
- 3 matematik öğretmeni bu 5 boşluğa P(5, 3) kadar farklı şekilde yerleşir:
P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60
\text{Toplam} = 4! \times P(5, 3) = 24 \times 60 = 1440
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a) 720
b) 1440
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpma Yoluyla Sayma
- Tanım: Birbirinden bağımsız gerçekleşen aşamalı olayların toplam seçenek sayısı, her aşamadaki seçenek sayılarının çarpımıyla bulunur.
- Bu problemde: Basamaklara gelebilecek rakam alternatifleri çarpılarak oluşturulabilecek sayılar hesaplanmıştır.
2. Bağlama (Paketleme) Yöntemi
- Tanım: Yan yana bulunması zorunlu olan nesnelerin tek bir nesne olarak kabul edilip, kendi iç dizilimlerinin de hesaba katılması yöntemidir.
- Bu problemde: Matematik öğretmenleri tek bir blok sayılıp 3! ile çarpılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
0 Rakamının Çift Sayılarda Ayrı Değerlendirilmemesi
- Yanlış: Son basamağa \{0, 2, 4\} için 3 yazıp, yüzler basamağına doğrudan 4 veya 5 yazarak tek seferde çarpmak.
- Doğru: 0’ın birler basamağına gelme durumu ile 2, 4’ün gelme durumunu iki ayrı parça halinde inceleyip toplamak.
- Neden yanlış: 0 birler basamağına yerleştiğinde yüzler basamağı için 5 seçenek kalırken, 2 veya 4 yerleştiğinde 0 yüzler basamağına gelemeyeceği için 4 seçenek kalır.
Kitabındaki sonraki sayfanın alıştırmalarıyla veya bu sayfadaki spesifik bir sorunun alternatif çözüm yoluyla devam etmemi ister misin?