10.Sifırdan farklı a, b vec gerçel sayıları için,
a?
+b
o-b)
a-c
sayılarından hiçbiri pozitif değildir.
Buna göre,
- a+b+c
I. b-c
t
II. a + b-c
ifadelerinden hangileri kesinlikle negatiftir?
A) Yalnızl
B) I ve l
D) Il ve ll
E)I, Il ve ll
C=-
C)I ve lll
Sıfırdan Farklı a, b ve c Gerçel Sayıları İçin İşaret Analizi
KULLANILAN KURAL: “Pozitif değildir” ifadesi, bir sayının sıfıra eşit veya sıfırdan küçük (\leq 0) olduğu anlamına gelir. Ancak soruda sayıların “sıfırdan farklı” olduğu belirtildiği için bu ifadeler kesinlikle negatiftir (< 0).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen İfadelerin Analizi ve İşaret Belirleme
Soruda verilen üç ifadenin de negatif olması gerektiğini biliyoruz:
- a^2 + b < 0: a^2 her zaman pozitiftir (çünkü a \neq 0). Pozitif bir sayıyla b toplandığında sonuç negatif çıkıyorsa, b kesinlikle negatiftir (b < 0). Ayrıca |b| > a^2 bağıntısı vardır.
- c - b < 0: Buradan c < b sonucuna ulaşırız. b negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan c de kesinlikle negatiftir (c < 0).
- a - c < 0: Buradan a < c sonucuna ulaşırız. c negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan a da kesinlikle negatiftir (a < 0).
Sıralama şu şekildedir: a < c < b < 0
Adım 2 — Öncüllerin Değerlendirilmesi
I. a + b + c
a, b ve c sayılarının üçü de negatiftir. Üç negatif sayının toplamı her zaman negatiftir.
II. b^2 - c^2
Sıralamamız c < b < 0 şeklindeydi. Negatif sayılarda sıfıra daha uzak olanın (yani daha küçük olanın) karesi daha büyüktür.
Örnek: c = -3, b = -2 olsun. (-3)^2 = 9 ve (-2)^2 = 4 olur.
Burada c^2 > b^2 olduğu için b^2 - c^2 işleminin sonucu negatif olur.
III. a + b - c
Bu ifadeyi a + (b - c) olarak düşünebiliriz. a negatiftir. c < b olduğu için (b - c) ifadesi pozitiftir. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı, hangi sayının mutlak değerce daha büyük olduğuna bağlıdır. Kesinlik yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşitsizliklerde Kare Alma
- Tanım: Negatif sayılarda küçük olan sayının mutlak değeri daha büyüktür, dolayısıyla karesi de daha büyük olur.
- Bu problemde: c < b < 0 olduğu için c^2 > b^2 sonucuna ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Pozitif Değildir İfadesini Yanlış Anlamak
- Yanlış: Pozitif değilse sadece sıfırdır.
- Doğru: Pozitif değilse negatiftir veya sıfırdır. Soruda “sıfırdan farklı” dendiği için doğrudan negatiftir.
- Neden Yanlış: Sıfır ihtimalini göz ardı etmek bazı sorularda hataya yol açar, ancak burada “sıfırdan farklı” uyarısı bizi koruyor.
Bu işaret analizi yöntemini diğer eşitsizlik sorularında da kullanmak ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Sıfırdan Farklı a, b ve c Sayılarının Analizi
KULLANILAN KURAL: “Pozitif değildir” ve “sıfırdan farklı” bilgisi, tüm ifadelerin sıfırdan küçük (<0) olduğunu gösterir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İşaret ve Sıralama Tespiti
- a^2 + b < 0 \implies a^2 pozitiftir, o halde b negatif (-) olmalı.
- c - b < 0 \implies c < b olur. b negatifse c de negatif (-) ve b’den küçüktür.
- a - c < 0 \implies a < c olur. c negatifse a da negatif (-) ve c’den küçüktür.
- Sıralama: a < c < b < 0
Adım 2 — Öncüllerin Kontrolü
- a + b + c: Üç negatif sayının toplamı her zaman negatiftir.
- b^2 - c^2: c < b < 0 olduğundan (örneğin -3 < -2), mutlak değerce |c| > |b| olur. Bu yüzden c^2 > b^2 olur. Küçükten büyük çıktığı için sonuç negatiftir.
- a + b - c: a + (b - c) şeklinde yazılır. a negatif, (b - c) pozitiftir. Hangisinin mutlak değeri büyükse işaret o olur, kesinlik yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Benzer bir eşitsizlik sorusuyla pratik yapmak ister misin?
yanlış çözdün cevap anahtarı 1 ve 2 diyor
Sıfırdan Farklı a, b ve c Gerçel Sayıları İçin İşaret Analizi
KULLANILAN KURAL: Bir ifadenin “pozitif olmaması” ve sayıların “sıfırdan farklı” olması, bu ifadelerin her birinin sıfırdan küçük (<0) olduğu anlamına gelir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Step 1 — Değişkenlerin İşaretlerini Belirleme
- a^2 + b < 0: a^2 ifadesi a \neq 0 olduğu için daima pozitiftir. Pozitif bir değerle toplandığında sonucun negatif çıkması için b kesinlikle negatif (b < 0) olmalıdır.
- c - b < 0: Bu eşitsizlikten c < b sonucuna varırız. b negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan c de kesinlikle negatiftir (c < 0).
- a - c < 0: Bu eşitsizlikten a < c sonucuna varırız. c negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan a da kesinlikle negatiftir (a < 0).
Sonuç: a < c < b < 0 (Hepsi negatif ve sıralama bu şekildedir).
Step 2 — Öncülerin Değerlendirilmesi
- I. a + b + c: Üç negatif sayının toplamı daima negatiftir. (Kesin doğru)
- II. b^2 - c^2: Sıralamamız c < b < 0 şeklindedir. Negatif sayılarda sıfıra daha uzak olanın (küçük olanın) karesi daha büyüktür. Örneğin; c = -2, b = -1 ise c^2 = 4, b^2 = 1 olur. Bu durumda b^2 - c^2 (küçükten büyük çıkması) daima negatiftir. (Kesin doğru)
- III. a + b - c: a + (b - c) olarak düşünürsek; a negatif, (b - c) ise pozitiftir (çünkü b > c). Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamının işareti mutlak değerce hangisinin büyük olduğuna bağlıdır. Kesinlik yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Not: Önceki analizde de sonuç I ve II (B seçeneği) olarak belirtilmiştir, cevap anahtarı ile uyumludur.
Sıralama ve kare alma kuralları ile ilgili başka bir örnek üzerinden devam edelim mi?
