- P ağırlıklı cisim ile P ağırlıklı K ve L makaraları şekildeki gibi dengededir. Buna göre K makarası ok yönünde 1 tur dönecek şekilde çekildiğindeL makarası kaç kez döner? (Sürtünmeler önemsizdir.) 1 tur K
!Resim [Link Silindi]
SORU: K makarası 1 tur döndüğünde L makarası kaç kez döner?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Makara sistemlerinde ip uzunluğunun sabit olduğu,
- İplerin açılması ve kapanması geometrik bağlantılarla ilişkilidir,
- Makara çevresi formülü: C = 2 \pi r ,
- Makaranın dönüş sayısı ile ip uzunluğundaki değişim ters orantılıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K makarasının ip uzunluğundaki değişimini bulun
K makarasının yarıçapı r
Bir tur dönmesi halinde ip uzunluğu:
\Delta L_K = 2\pi r
Adım 2 — L makarasının yarıçapı ve ip uzunluğundaki değişim ilişkisi
L makarasının yarıçapı 2r
L makarası, ipi üzerine sarıp söndürerek hareket eder.
L makarasının 1 turunda ip uzunluğu:
\Delta L_L = 2\pi (2r) = 4\pi r
Adım 3 — İp uzunluğunun değişimi dengede olduğundan ip açılması ve kapanması eşittir
K makarasının 1 tur dönmesinde ip uzunluğu 2 \pi r artar.
Bu ip uzunluğu L makarasının ip açmasını sağlar.
L makarasının kaç tur döndüğünü bulmak için:
\text{L tur sayısı} = \frac{\text{K makarasının ip uzunluğu değişimi}}{\text{L makarasının bir turda ip uzunluğu değişimi}} = \frac{2\pi r}{4\pi r} = \frac{1}{2}
Adım 4 — Sonuç
K makarası 1 tur döndüğünde L makarası yarım tur döner.
CEVAP: L makarası \frac{1}{2} tur döner.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: K makarası ok yönünde 1 tur döndürüldüğünde L makarası kaç kez döner?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Halat üzerinde kayma uzunluğu: s=\theta r (bir tur için s=2\pi r).
- Sabit halat uzunluğu korunur; hareket eden makarada merkez yer değişimi y toplam halat uzunluğunu iki kat değiştirir (hareket eden makaralı düzen için).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K makarasının halatta oluşturduğu kayma
K 1 tur döndüğünde halat üzerinde kayan uzunluk: s_K=2\pi r.
Adım 2 — Halat uzunluğu korunumu ile L merkezinin yer değiştirmesi
K → B arasındaki parçaya +2\pi r halat geldiği için, B → (L ve yandaki kısımlar) toplamında -2\pi r değişim olmalıdır. Hareket eden L makarasında merkez yer değiştirmesi y toplam halat uzunluğunu 2y kadar değiştirir. Dolayısıyla
2y=-2\pi r \Rightarrow y=-\pi r.
Yani L yukarı doğru \pi r hareket eder.
Adım 3 — L etrafındaki halat parçalarının net değişimi ve kayma
- L merkezinin yukarı hareketi her iki tarafta da -\pi r uzunluk değişimi oluşturur.
- Üst tarafta ayrıca K’dan gelen +2\pi r vardır.
Buna göre üst parçanın net değişimi: \Delta_{\text{üst}}=+2\pi r+(-\pi r)=+\pi r.
Alt parçanın net değişimi: \Delta_{\text{alt}}=-\pi r.
L etrafında halatın göreli kayma miktarı:
s_{\text{rel}}=\Delta_{\text{üst}}-\Delta_{\text{alt}}=\pi r-(-\pi r)=2\pi r.
Adım 4 — L makarasının döndürme sayısı
L makarasının çevresi 2\pi(2r)=4\pi r. L üzerindeki göreli kayma 2\pi r olduğuna göre L’nin döndüğü tur sayısı:
n_L=\dfrac{s_{\text{rel}}}{\text{çevre}_{L}}=\dfrac{2\pi r}{4\pi r}=\dfrac{1}{2}.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: L makarası \dfrac{1}{2} tur döner.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Halat uzunluğu korunumu
- Tanım: Sistemde halatın toplam uzunluğu sabittir.
- Bu problemde: K tarafından oluşturulan ek/eksilen halat L ve bağlı parçaların konumunu değiştirir.
2. Halat kayması ve açı-uzunluk ilişkisi
- Tanım: Halatın bir makara etrafında kaydığı uzunluk s=\theta r formülüyle bulunur.
- Bu problemde: K’nın 1 turu 2\pi r uzunluk kayması sağlar; L üzerindeki göreli kayma buna göre hesaplanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yalnızca çap oranına bakmak
- Yanlış: K’nın 1 turu doğrudan L’nin yarım veya tam turu demek diye sadece r ve 2r oranına bakmak.
- Doğru: K tarafından verilen halat uzunluğunun L’de nasıl dağıldığını (merkez yer değiştirmesi ve iki taraflı değişim) dikkate almak gerekir.
- Neden yanlış: Hareket eden makaraların merkez yer değiştirmesi halat uzunluğunu iki kat etkiler; bu etki ihmal edilirse yanlış sonuç çıkar.
- Düzeltme: Halat uzunluğu korunumu ve üst/alt segment değişikliklerini ayrı ayrı hesaplayıp göreli kaymayı bulun.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?