10.) Ön yüzü yeşil, arka yüzủ sarı renkli olan ABC üçgeni
bicimindeki kâğıt, [AD] boyunca ok ile gösterilen
yönde katlanırsa B noktası AC kenarı üzerine gel-
mektedir.
B a2
a0
m(ABC) = 45°, m(ACB) = 30, IBDI = av2 cm
A) av2 B) ay3
Buna göre, IDCI kaç santimetredir?
C)a
2 D) 2a E) 2av2
ABC Üçgeninde Katlama ve İç Açıortay Teoremi ile |DC| Uzunluğunun Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Katlama Simetrisi Kuralı: Bir köşe katlandığında kat çizgisi açıortay doğrusudur.
- Sinüs Teoremi: Bir üçgende kenarlar ile karşılarındaki açıların sinüsleri orantılıdır:\frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} = \frac{|AC|}{\sin(\widehat{B})}
- İç Açıortay Teoremi: Üçgende bir iç açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir:\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katlama Çizgisinin Açıortay Olduğunu Belirleme
B noktası [AD] boyunca katlandığında [AC] üzerindeki B' noktasına geldiği için [AD] doğru parçası \widehat{BAC} açısının açıortayıdır. Dolayısıyla:
m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD})
Adım 2 — Sinüs Teoremi ile Kenar Oranını Bulma
ABC üçgeninde m(\widehat{B}) = 45^\circ ve m(\widehat{C}) = 30^\circ verilmiştir. Sinüs Teoremini uygulayarak \frac{|AB|}{|AC|} oranını hesaplayalım:
\frac{|AB|}{\sin(30^\circ)} = \frac{|AC|}{\sin(45^\circ)}
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
Adım 3 — İç Açıortay Teoremini Uygulama
[AD] açıortay olduğu için tabandaki parçaların oranı kenarların oranına eşittir:
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{1}{\sqrt{2}}
Adım 4 — |DC| Uzunluğunu Hesaplama
Soruda |BD| = a\sqrt{2}\text{ cm} olarak verilmiştir. Değeri denklemde yerine yazalım:
\frac{a\sqrt{2}}{|DC|} = \frac{1}{\sqrt{2}}
|DC| = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2a\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 2a
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katlama Çizgisi (Simetri Ekseni)
- Tanım: Katlama sorularında katlanan kenar ile yeni oluşan kenar eşittir ve kat çizgisi açıortay vazifesi görür.
- Bu problemde: [AB] kenarı [AC] üzerine katlandığı için [AD] doğrusu A açısının açıortayı olmuştur.
2. İç Açıortay Teoremi
- Tanım: Bir açının açıortayının karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, açının kolları oranına eşittir.
- Bu problemde: |BD| ve |DC| arasındaki ilişki doğrudan \frac{|AB|}{|AC|} oranı üzerinden bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katlama Çizgisini Yükseklik veya Kenarortay Sanmak
- Yanlış: [AD]'yi tabana dik kabul edip özel üçgen oluşturmaya çalışmak.
- Doğru: Katlama işleminde B noktası C ile çakışmıyor, sadece [AC] üzerine geliyor. Bu nedenle [AD] dik olmak zorunda değildir; yalnızca açıortaydır.
- Neden yanlış: İkizkenarlık veya diklik belirtilmediği sürece katlama çizgisi sadece açıortay kesinliğini taşır.
Katlama geometrisi ve açıortay teoremi ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?