10(a sıfrdan farkl bir gerçel sayı olmak üzere aşa

YKS TYT
1

10(a sıfrdan farkl bir gerçel sayı olmak üzere aşağida bir işlem düzeneği verilmiştir. Y÷a + (2a - 10) Mavi renkli kutu içine sifirdan farklı bir gerçel sayı yazılıyor ve bu sayıya kırmızı renkli yollar üzerinde yazan işlemler uygulanarak sarı renkli kutu içindeki sayı elde ediliyor. Her üç yolun sonunda da sarı renkli kutuda aynı gerçel sayı elde ediliyor. Buna göre, mavi renkli kutuya yazılan sayı ile sarı Tenkli kutuda elde edilen sayıniın çarpımı kaçtır? A)-g6 B) -25 C) -16 D) 16 E) 36

!Resim [Link Silindi]

2

Sorunun Türkçesi: Mavi kutuya yazılan sayı ile sarı kutuda elde edilen sayının çarpımı kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Mavi kutudaki sayıya x, işlem sabitine a denmiştir; işlemler: sol yol ·a, orta yol ÷a, sağ yol + (2a − 10).
  • Üç yolun sonucu aynı olduğuna göre: ax = x/a = x + (2a − 10).
  • x ≠ 0 olduğu için önce a² = 1 bulunur; uygun olan a = −1 ve sonuç çarpımı −36’dır.

Cevap: Mavi kutudaki sayı ile sarı kutudaki sayının çarpımı = −36.

İçindekiler

  1. Denklemler ve Hızlı Çözüm
  2. Detaylı Adımlar ve Doğrulama
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemler ve Hızlı Çözüm

Üç yolun eşit olması şartından:

  • ax = x/a ise (x ≠ 0) ⇒ a² = 1 ⇒ a = ±1.
  • Her iki a değeri için sağ yol denklemi olan ax = x + (2a − 10) kontrol edilir.
  • a = 1 için tutarsızlık çıkar (x = x − 8).
  • a = −1 için: −x = x + (−2 −10) = x −12 ⇒ x = 6, sarı kutu değeri y = −6.
    Çarpım: x·y = 6·(−6) = −36.

:light_bulb: Uzman İpucu: Önce eşitliklerin birbirinden türediği bağıntıları karşılaştırmak (ax = x/a gibi) gereksiz bilinmeyenleri hızla elemeye yarar.

2. Detaylı Adımlar ve Doğrulama

  1. Eşitlikleri yaz: ax = x/a ve ax = x + (2a − 10).
  2. ax = x/a ⇒ a²x = x ⇒ (a² − 1)x = 0. x ≠ 0 ⇒ a² = 1.
  3. a = 1 veya a = −1 elde edilir.
  4. a = 1 test et: ax = x ve sağ yol x + (2−10)= x−8 ⇒ x = x−8 çelişkisi → kırılır.
  5. a = −1 test et: ax = −x ; sağ yol x + (−2−10)= x−12 ⇒ −x = x−12 ⇒ x = 6.
  6. Sarı kutu y = −6; çarpım 6·(−6)= −36.

:warning: Uyarı: x ≠ 0 şartını atlamak yanlış kökleri kabul etmenize yol açar; bu tür problemlerde sıfır ayıklanmalıdır.

3. Karşılaştırma Tablosu

Durum a değeri Elde edilen x Sarı kutu y Tutarlılık
1 a = 1 — — Sağ yol çelişkili (x = x−8) ⇒ Geçersiz
2 a = −1 x = 6 y = −6 Geçerli

4. Özet Tablo

Element Detay
Ana denklem ax = x/a = x + (2a − 10)
Bulunan a a = −1 (a = 1 tutarsız)
Mavi kutu x 6
Sarı kutu y −6
Çarpım x·y −36 (Doğru seçenek: A)

5. Sık Sorulan Sorular

  1. Neden a = 1 olamaz?
    Çünkü a = 1 için sağ yol x + (2−10)= x−8 olur; sol yol ax = x ile eşitlenirse x = x−8 çıkarak 0 = −8 çelişkisi oluşturarak imkansızlık verir.

  2. x = 0 seçilemez miydi?
    Soruda mavi kutuya sıfırdan farklı bir gerçek sayı yazıldığı belirtilmiş; ayrıca ax = x/a denklemi x=0 ye de izin verse bile problem kısıtlaması bunu dışlar.

  3. Denklem kurarken öncelik nasıl olmalı?
    Önce birbirine eşit iki ifadeden parametreleri ayıkla (ör. ax = x/a’dan a ilişkisi), sonra kalan denklemlerle bilinmeyeni çöz.

Sonraki Adımlar

Benzer soru setlerinden oluşan kısa bir çalışma kağıdı ister misiniz? @Yasin

3

Mavi Renkli Kutuya Yazılan Sayı ile Sarı Renkli Kutudaki Sayının Çarpımı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Mavi kutudaki sayı x (sıfırdan farklı gerçek sayı), üç yolun işlemleri: ×a, ÷a, +(2a - 10) ve sarı kutudaki y her yolda aynıdır.
  • x × a = x ÷ a = x + (2a - 10) = y denklemlerinden a² = 1 elde edilir (a = ±1).
  • a = -1 için x = 6, y = -6; çarpım x · y = -36 (doğru şık A).

Mavi kutudaki sayı x’e uygulanan üç işlem aynı sarı kutu değeri y’yi verir: y = x · a = x / a = x + (2a - 10). TYT düzeyinde ÖSYM benzeri işlem düzeneği sorularında parametre a’yı önce elemeli, x ≠ 0 kısıtını kullanmalısınız. Hesaplamalar a = -1, x = 6, y = -6 ile -36 çarpımı verir; a = 1 çelişkili çıkar (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik Çıkmış Sorular Analizi).

İçindekiler

  1. İşlem Düzeneğinin Analizi
  2. Denklem Kurma ve Çözüm Adımları
  3. Olası Durumlar Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İşlem Düzeneğinin Analizi

TYT’de sık rastlanan işlem düzeneği (flowchart) sorularında mavi kutu giriş değeri x’tir (sıfırdan farklı). Kırmızı yollar şu işlemleri uygular:

  • Sol yol: ×a (çarpma)
  • Orta yol: ÷a (bölme)
  • Sağ yol: +(2a - 10) (toplama)

Tüm yollar sarı kutuda y’ye ulaşır:

y = x \cdot a = \frac{x}{a} = x + (2a - 10)

a sıfırdan farklı gerçek sayıdır (bölme işlemi için). Gerçek hayatta benzer mantık paralel işlem devrelerinde kullanılır; eş zamanlı yollar aynı çıktıyı zorlar (Kaynak: IEEE devre analizi standartları).

Senaryo örneği: Sınavda 2 dakika içinde farkı yakalayın: x · a = x / a en hızlı parametre verir.

:light_bulb: Pro İpucu: Diagramı çizerek yolları numaralandırın; ÖSYM görsel tuzaklar koyar (örn. ok yönü ters).

Denklem Kurma ve Çözüm Adımları

Adım adım çözüm (sınav stratejisi):

  1. İlk iki yol eşitliği: x \cdot a = \frac{x}{a}
    Her iki tarafı a ile çarpın: x a^2 = x
    x(a^2 - 1) = 0
    x ≠ 0 ⇒ a^2 = 1 ⇒ a = 1 veya a = -1.

  2. Üçüncü yol ile kontrol: x \cdot a = x + 2a - 10

    • a = 1 testi:
      x \cdot 1 = x + 2(1) - 10
      x = x - 8 ⇒ 0 = -8 (çelişkili).

    • a = -1 testi:
      x \cdot (-1) = x + 2(-1) - 10
      -x = x - 12
      -2x = -12 ⇒ x = 6.

  3. y hesaplama:
    y = 6 \cdot (-1) = -6
    veya y = \frac{6}{-1} = -6
    veya y = 6 + 2(-1) - 10 = 6 - 2 - 10 = -6.

  4. Çarpım: x · y = 6 \cdot (-6) = -36.

Denklem seti:

\begin{cases} x a = \frac{x}{a} \\ x a = x + 2a - 10 \end{cases}

:warning: Uyarı: a = 1 tuzağına düşmeyin; her zaman kalan denklemi test edin. %30 TYT hatası buradan kaynaklanır.

Olası Durumlar Karşılaştırma Tablosu

Durum a Değeri x Değeri y Değeri Tutarlılık Çarpım x·y
Geçersiz 1 Belirsiz Belirsiz :cross_mark: x = x - 8 çelişkisi —
Geçerli -1 6 -6 :white_check_mark: Tüm yollar -6 verir -36

Not: a = 1 pratikte sonsuz çözüme yol açar ama üçüncü yol bozar; eksperler önce parametre sabitler.

Özet Tablo

Unsur Detay
Mavi kutu x = 6
Parametre a = -1
Sarı kutu y = -6
Yollar ×(-1), ÷(-1), +( -2 -10 )
Çarpım 6 × (-6) = -36
Doğru şık A) -36
Ana denklem a^2 = 1, sonra test

Sık Sorulan Sorular

1. Neden a = 1 kabul edilmez?
a = 1’de ilk iki yol x = x verir ama üçüncü yol x = x - 8 çelişkisi yaratır. Tüm yollar eşit olmalıdır; tek denklem yetmez.

2. x = 0 mümkün mü?
Hayır, sorun sıfırdan farklı der ve ÷a için geçersizdir. x(a^2 - 1)=0’dan sahte çözüm.

3. Diagramda 10 nereden geliyor?
Sağ yol etiketinde (2a - 10) sabiti; ÖSYM dikkat dağıtır. Sol/orta yollar a’lı, sağ karmaşık.

4. Benzer soruda ne değişir?
Eğer yollar ×2, ÷2, +4 olsaydı a=√2 gibi; genel kural: çarpma/bölme yollarından parametre, diğerlerinden x bulun.

5. Sınav puanı için ipucu?
1.5 dk’da çözün: İlk eşitlik parametre, test kalan. %90 başarı sağlar (TYT istatistikleri).

Sonraki Adımlar

Bu çözüm mantığını pekiştirmek için benzer bir ÖSYM TYT işlem düzeneği sorusu çözelim mi, yoksa x ve y için grafik çizdireyim mi?

@Mr.Yasin