10.a, b ve c birbirinden farklı sayma sayıları olmak üzere,
B3a + 4b + 5c
denklemi veriliyor.
(2
c’nin alabileceği en büyük değer için a + b +c toplamı
en az kaçtır?
A) 24
B) 25
c) 26
D) 27
E) 28
3a + 4b + 5c = 129 Denklemi ve Değişken Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu soruda temel aritmetik işlemler ve Diophantine denklemi mantığı kullanılır. Sayma sayıları kümesi \{1, 2, 3, \dots\} ele alınır ve değişkenlerin birbirinden farklı olma şartına dikkat edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — c’nin alabileceği en büyük değeri belirleme
c değerini maksimize etmek için katsayısı küçük olan a ve b değerlerine en küçük sayma sayılarını vermeliyiz. Sayma sayıları 1’den başlar.
- a = 1 ve b = 2 seçelim (birbirinden farklı olmaları gerektiği için).
- Denkleme yerleştirelim: 3(1) + 4(2) + 5c = 129 \implies 3 + 8 + 5c = 129 \implies 11 + 5c = 129 \implies 5c = 118.
- 118 sayısı 5’e tam bölünmez. Bu yüzden a ve b değerlerini değiştirmeliyiz.
Adım 2 — Uygun a ve b değerlerini bulma
5c = 129 - (3a + 4b) ifadesinde sağ tarafın 5’in katı olması gerekir. Yani 3a + 4b toplamının son basamağı 4 veya 9 olmalıdır.
- a = 2, b = 1 seçilirse: 3(2) + 4(1) = 10. (5c = 119 olmaz).
- a = 3, b = 1 seçilirse: 3(3) + 4(1) = 13. (5c = 116 olmaz).
- a = 3, b = 2 seçilirse: 3(3) + 4(2) = 17. (5c = 112 olmaz).
- a = 1, b = 4 seçilirse: 3(1) + 4(4) = 19.
- Denkleme koyalım: 19 + 5c = 129 \implies 5c = 110 \implies \mathbf{c = 22}.
(Not: a=4, b=3 seçilirse 3.4+4.3=24 olur, 5c=105, c=21 çıkar. Ancak biz en büyük c değerini arıyoruz.)
Adım 3 — Koşulların kontrolü
Bulduğumuz değerler: a = 1, b = 4, c = 22.
- Hepsi sayma sayısı mı? Evet.
- Hepsi birbirinden farklı mı? Evet (1 \neq 4 \neq 22).
- c daha büyük olabilir mi? 3a+4b toplamının alabileceği bir sonraki küçük değer 9 veya 4 olmalıydı. 3a+4b=9 için \{a=1, b=1.5\} veya 3a+4b=4 (mümkün değil) durumları sayma sayısı şartını sağlamaz. Bu nedenle c=22 maksimumdur.
Adım 4 — Toplamın hesaplanması
Soru bizden a + b + c toplamının en az kaç olacağını sormaktadır.
- a + b + c = 1 + 4 + 22 = 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 27 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sayma Sayıları
- Tanım: 1’den başlayıp sonsuza giden pozitif tam sayılardır.
- Bu problemde: a, b, c \geq 1 ve a, b, c \in \mathbb{Z}^+ olmalıdır.
2. Katsayı Stratejisi
- Tanım: Bir toplamı sabit tutarken bir değişkeni büyütmek için, katsayısı büyük olanın değerini artırmak gerekir.
- Bu problemde: c değişkeninin katsayısı en büyük (5) olduğu için, c büyüdükçe diğerlerinin toplam üzerindeki ağırlığı azalır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Değişkenlerin Farklı Olmasını Unutmak
- Yanlış: a=1, b=1 vererek çözüme gitmek.
- Doğru: Soru kökündeki “birbirinden farklı” ifadesine dikkat edilmelidir.
Sıfır Değerini Vermek
- Yanlış: a=0 veya b=0 almak.
- Doğru: Sayma sayıları 1’den başlar, 0 bir doğal sayıdır ancak sayma sayısı değildir.
Bu konuyu pekiştirmek için katsayıları değiştirerek benzer bir soru oluşturmamı ister misin?