(√10-4√6)×(√24+4) işleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
,
1

(√10-4√6)×(√24+4) işleminin sonucu kaçtır?

2

(√10 - 4√6) × (√24 + 4) işleminin sonucu kaçtır?

Cevap:

Bu soruda, verilen köklü ifadeyi basitleştirerek çarpma işlemini adım adım çözeceğiz. Matematikte köklü sayılarla çalışırken, kökleri basitleştirmek ve çarpma kurallarını uygulamak önemlidir. Bu işlemde, √24 kökünü basitleştirerek başlayacağız ve ardından çarpma işlemini genişleterek sonuca ulaşacağız. Çözümü detaylı bir şekilde açıklayacağım, böylece YKS TYT gibi sınavlara hazırlanan öğrenciler için daha iyi anlaşılır hale gelsin.

Table of Contents

  1. Sorunun Tanımı ve Ön Hazırlık
  2. Kökleri Basitleştirme Adımı
  3. Çarpma İşleminin Adım Adım Genişletilmesi
  4. Sonucun Basitleştirilmesi
  5. Özet Tablosu: Ana Adımlar ve Sonuç
  6. Sonuç ve Özet

1. Sorunun Tanımı ve Ön Hazırlık

Verilen ifade, (√10 - 4√6) × (√24 + 4), iki köklü terimin çarpımını içerir. Bu tür ifadelerde, önce kökleri basitleştirmek ve ardından çarpma kurallarını (örneğin, dağıtıcı özellik) uygulamak en etkili yöntemdir. √24 ifadesi, 24’ün kare bölenlerini kullanarak basitleştirilebilir: √24 = √(4 × 6) = 2√6. Bu basitleştirme, işlemi daha kolay hale getirir.

Bu adım, köklü sayılarla çalışırken sıkça karşılaşılan bir tekniktir ve matematik problemlerinde köklü sayıları basitleştirme kurallarını hatırlatır. Örneğin, √(a × b) = √a × √b ve √(k^2 × m) = k√m (eğer k pozitifse) gibi kurallar kullanılır.

2. Kökleri Basitleştirme Adımı

İlk olarak, √24 kökünü basitleştirelim. Çünkü 24, 4 gibi bir kare sayıya bölünebilir:

  • √24 = √(4 × 6) = √4 × √6 = 2√6

Böylece orijinal ifade şu hale gelir:
(√10 - 4√6) × (2√6 + 4)

Bu basitleştirme, çarpma işlemini daha yönetilebilir kılar. Şimdi, bu yeni ifadeyi genişleterek devam edeceğiz.

3. Çarpma İşleminin Adım Adım Genişletilmesi

Çarpma işlemini, dağıtıcı özellik (FOIL yöntemi benzeri) kullanarak her terimi ayrı ayrı çarparak genişletelim. İfade: (√10 - 4√6) × (2√6 + 4)

Adım adım dağıtalım:

  1. İlk terimleri çarpalım: √10 × 2√6

    • √10 × 2√6 = 2 × √10 × √6 = 2 × √(10 × 6) = 2 × √60
    • √60’yi basitleştirelim: √60 = √(4 × 15) = √4 × √15 = 2√15
    • Yani, 2 × 2√15 = 4√15

  2. İlk terimle ikinci terimi çarpalım: √10 × 4

    • √10 × 4 = 4√10

  3. İkinci terimle ilk terimi çarpalım (eksi işaretine dikkat): -4√6 × 2√6

    • -4√6 × 2√6 = -4 × 2 × (√6 × √6) = -8 × 6 (çünkü (√6)^2 = 6)
    • -8 × 6 = -48

  4. İkinci terimle ikinci terimi çarpalım: -4√6 × 4

    • -4√6 × 4 = -16√6

Şimdi tüm terimleri toplayalım:
4√15 + 4√10 - 48 - 16√6

Bu, genişletilmiş haldedir.

4. Sonucun Basitleştirilmesi

Genişletilmiş ifadeyi daha düzenli hale getirebiliriz. Terimleri gruplayarak:
-48 + 4√10 - 16√6 + 4√15

Ortak faktörleri fark edelim. Tüm terimlerde 4’e bölünebilir:
4(-12 + √10 - 4√6 + √15)

Bu, sonucun basitleştirilmiş halidir. √10, √6 ve √15 kökleri daha fazla basitleştirilemez, çünkü 10, 6 ve 15’in kare olmayan kısımları vardır. Sonuç, rasyonel bir sayı değildir ve köklü formda bırakılır.

Eğer sayısal bir yaklaşım isterseniz, yaklaşık değerler hesaplanabilir:

  • √10 ≈ 3.162, √6 ≈ 2.449, √15 ≈ 3.873
  • Ancak, bu soruda tam çözüm köklü formda daha doğru ve matematiksel olarak kabul edilebilir.

5. Özet Tablosu: Ana Adımlar ve Sonuç

Aşağıdaki tablo, çözüm adımlarını ve ana sonuçları özetler. Bu, süreci daha net hale getirir ve YKS TYT’de benzer sorular için referans olabilir.

Adım Numarası Açıklama Sonuç
1. Kök Basitleştirme √24’yi basitleştirme √24 = 2√6, ifade: (√10 - 4√6) × (2√6 + 4)
2. Çarpma Genişletme Her terimi dağıtarak çarpma 4√15 + 4√10 - 48 - 16√6
3. Son Basitleştirme Ortak faktörü çıkarma 4(-12 + √10 - 4√6 + √15)
Sonuç Basitleştirilmiş ifade 4(-12 + √10 - 4√6 + √15) veya -48 + 4√10 - 16√6 + 4√15

6. Sonuç ve Özet

Sonuç olarak, (√10 - 4√6) × (√24 + 4) işleminin sonucu -48 + 4√10 - 16√6 + 4√15 veya basitleştirilmiş haliyle 4(-12 + √10 - 4√6 + √15)'tir. Bu, köklü sayılarla çarpma işlemlerinde adım adım basitleştirme ve dağıtma kurallarının önemini gösterir. Çözüm, rasyonel bir sayı olmadığı için köklü formda bırakılmıştır. Bu tür problemler, matematik sınavlarında sıkça çıkabilir ve kökleri basitleştirmek, hatayı azaltır.

Özet: İfadenin sonucu, basitleştirme adımlarıyla 4(-12 + √10 - 4√6 + √15) olarak bulunmuştur. Bu çözüm, doğruluğu doğrulanmış ve YKS TYT seviyesinde anlaşılır bir şekilde sunulmuştur.

@EsmaNur16

3

(√10 - 4√6) × (√24 + 4) işleminin sonucu kaçtır?

Cevap:

Bu işlemi adım adım açarak ve sadeleştirerek sonucu bulalım.

İşlem Adımları

İşlemimiz:

(\sqrt{10} - 4\sqrt{6}) \times (\sqrt{24} + 4)

1. Parantezleri açalım (Dağıtma işlemi):

= \sqrt{10} \times \sqrt{24} + \sqrt{10} \times 4 - 4\sqrt{6} \times \sqrt{24} - 4\sqrt{6} \times 4

Yani:

= \sqrt{10 \times 24} + 4\sqrt{10} - 4 \sqrt{6 \times 24} - 16 \sqrt{6}

2. Kök içlerini çarpalım:

  • \sqrt{10 \times 24} = \sqrt{240}
  • \sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144}

3. Kökleri sadeleştirelim:

  • \sqrt{240} sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

240 = 16 \times 15

\sqrt{240} = \sqrt{16 \times 15} = \sqrt{16} \times \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}

  • \sqrt{144} = 12 (çünkü 12^2 = 144)

4. Yerine yazalım:

= 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{10} - 4 \times 12 - 16 \sqrt{6}

= 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{10} - 48 - 16 \sqrt{6}

5. Sonuç:

\boxed{4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6} - 48}

Özet Tablosu

İşlem Adımı Sonuç
Parantez açma \sqrt{10}\sqrt{24} + 4\sqrt{10} - 4\sqrt{6}\sqrt{24} - 16\sqrt{6}
Kök içlerini çarpma \sqrt{240} + 4\sqrt{10} - 4\sqrt{144} - 16\sqrt{6}
Kökleri sadeleştirme 4\sqrt{15} + 4\sqrt{10} - 48 - 16\sqrt{6}
Sonuç 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6} - 48

Sonuç olarak, işlemin sonucu 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6} - 48 şeklindedir.

Eğer isterseniz, bu ifadeyi daha fazla sadeleştirmek için sayısal değerlerine de bakabiliriz.

@EsmaNur16