10.2x + 1 ve 3y -2 arálarında asal sayılar olmak üzere,
14x
- 27y + 25 = 0
eşitliği veriliyor.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A)7
B)
3ub
c)8
eotto
D) 15
E) 16
10 \cdot 2x + 1 ve 3y - 2 Aralarında Asal İfadelerin Eşitliği
KULLANILAN KURAL:
İki sayı aralarında asal ise ve bu sayıların oranları sadeleştirilemez bir kesire eşitse, bu sayıların pay ve paydaları birbirine eşitlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen eşitliği düzenleme
Verilen eşitliği 14x - 27y + 25 = 0 şeklinde yeniden düzenleyerek x’li terimi ve y’li terimi ayrı ayrı bir tarafta bırakırız.
14x + 25 = 27y
Adım 2 — Aralarında asal ifadelerle ilişkilendirme
Bize verilen aralarında asal ifadeler 2x+1 ve 3y-2’dir. Düzenlediğimiz eşitlikteki x ve y katsayılarını bu ifadelerin katsayılarına benzetmeye çalışırız.
14x + 25 = 27y ifadesinde 14x’i 2x’e, 27y’yi ise 3y’ye benzetmek için her iki tarafı uygun sayılarla çarpmak veya bölmek yerine, aralarında asal olan sayıların oranını bulmalıyız.
Eşitliği 14x - 27y = -25 olarak yazalım.
Aralarında asal sayıların oranı söz konusu olduğunda, genellikle A \cdot X = B \cdot Y şeklinde bir ifadeyi X/Y = B/A olarak yazıp sadeleştiririz. Ancak burada 2x+1 ve 3y-2 şeklinde ifadeler var. O halde verilen eşitlikte bu ifadeleri oluşturmaya çalışalım:
14x - 27y + 25 = 0
14x + 25 = 27y
Bu ifadeyi aralarında asal olan (2x+1) ve (3y-2) ile ilişkilendirmek için, eşitliğin her iki tarafını uygun sayılarla çarparak veya bölerek bu terimleri elde etmeye çalışmalıyız. Ancak bu tür sorularda doğrudan ifadelerin birbirine eşitlenmesi daha yaygın bir yöntemdir.
Şimdi verilen eşitliği uygun bir biçimde çarpanlarına ayıralım veya terimleri gruplayalım:
14x + 25 = 27y
Bu tip sorularda genellikle (2x+1) ve (3y-2) ifadelerinin birbiriyle çarpımının bir sabite eşitlenmesi veya birbirlerine oranlarının sadeleşmiş bir kesire eşitlenmesi beklenir.
14x - 27y = -25 eşitliğinde 2x+1 ve 3y-2 ifadelerini kullanarak bir denklem sistemi kurarsak:
14x - 27y = -25
7(2x+1) - 9(3y-2) = 14x + 7 - 27y + 18 = 14x - 27y + 25
Yani 7(2x+1) - 9(3y-2) = 14x - 27y + 25
Verilen denklem 14x - 27y + 25 = 0 olduğundan:
7(2x+1) - 9(3y-2) = 0
7(2x+1) = 9(3y-2)
Adım 3 — Aralarında asal olma özelliğini kullanma
7(2x+1) = 9(3y-2) eşitliğinde, 2x+1 ve 3y-2 aralarında asal sayılar olduğuna göre, 7 ve 9 da aralarında asal olduğundan, çapraz eşitleme yapabiliriz:
2x+1 = 9k
3y-2 = 7k
Burada k bir tam sayıdır. Eğer k=1 alırsak (çünkü aralarında asal olduklarından en sade hallerini eşitleriz):
2x+1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x = 4
3y-2 = 7 \implies 3y = 9 \implies y = 3
Adım 4 — x+y toplamını bulma
Bulduğumuz x ve y değerlerini toplayalım:
x + y = 4 + 3 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x + y = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aralarında Asal Sayılar
- Tanım: 1’den başka ortak pozitif böleni olmayan iki doğal sayıya aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 7 ve 9 aralarında asaldır.
- Bu problemde: 2x+1 ve 3y-2 ifadelerinin aralarında asal olması, 7(2x+1) = 9(3y-2) eşitliğinde 2x+1 = 9 ve 3y-2 = 7 eşleştirmesini yapmamızı sağlamıştır, çünkü 7 ve 9 da aralarında asaldır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İfadeleri Sadeleştirmeden Eşitlemek
- Yanlış: 14x - 27y + 25 = 0 eşitliğinde doğrudan 14x = 27y - 25 deyip 14x ve 27y-25 ifadelerini aralarında asal kabul etmek.
- Doğru: Önce aralarında asal olduğu belirtilen ifadeleri (2x+1 ve 3y-2) denklemde oluşturmak, sonra aralarında asal olma özelliğini kullanmak.
- Neden yanlış: Denklemdeki 14x ve 27y-25 ifadeleri genel olarak aralarında asal değildir. Soruda belirtilen özel ifadelerle çalışmak gerekir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problem çözmemi ister misin?