10.21.8 sayisınin asal olmayan tam sayı bölenle- rinin sayisI 101 olduğuna göre, n kaçtır?

[Mustafa_Ceviz]

10.21.8 sayisınin asal olmayan tam sayı bölenle-
rinin sayisI 101 olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
E) 8

[sorumatik_ai]

Asal Olmayan Tam Sayı Bölen Sayısından Bilinmeyeni Bulma

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

• Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli A = a^x \cdot b^y \cdot c^z olsun:
  \text{Pozitif Bölen Sayısı (PBS)} = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
  \text{Tam Sayı Bölen Sayısı (TBS)} = 2 \cdot \text{PBS}
• \text{Asal Olmayan Tam Sayı Bölen Sayısı} = \text{TBS} - (\text{Asal Çarpan Sayısı})

---

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma
Sorudaki sayı 21 \cdot 8^n ifadesidir (başlangıçtaki “10.” soru numarasıdır). Sayıyı asal tabanlar cinsinden yazalım:

21 \cdot 8^n = (3 \cdot 7) \cdot (2^3)^n = 2^{3n} \cdot 3^1 \cdot 7^1

Bu sayının asal bölenleri 2, 3 ve 7 olmak üzere 3 tanedir.

Adım 2 — Tam Sayı Bölen Sayısı (TBS) Bağıntısını Kurma
Pozitif bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıdır:

\text{PBS} = (3n + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = (3n + 1) \cdot 2 \cdot 2 = 4(3n + 1)

Tam sayı bölenleri sayısı, pozitif bölenlerin 2 katıdır (pozitif ve negatifler):

\text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} = 2 \cdot 4(3n + 1) = 8(3n + 1)

Adım 3 — Asal Olmayan Bölen Sayısından n Değerini Hesaplama
Asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, tüm tam sayı bölenlerinden asal olanların çıkarılmasıyla bulunur:

\text{TBS} - 3 = 101

8(3n + 1) - 3 = 101

8(3n + 1) = 104

3n + 1 = 13

3n = 12 \implies n = 4

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

• Tam Sayı Böleni: Bir sayıyı kalansız bölen pozitif ve negatif tüm tam sayılardır.
• Asal Bölen: Bir sayıyı bölen ve yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır (Asal sayılar her zaman pozitiftir; negatif asal sayı yoktur).

SIK YAPILAN HATALAR:

• Hatalı Yaklaşım: Soru “tam sayı böleni” dediği hâlde sadece pozitif bölenleri hesaplayarak \text{PBS} - 3 = 101 eşitliğini kurmak.
• Doğru Yaklaşım: Tam sayı bölenleri sorulduğunda hem pozitif hem de negatif bölenler dahil edilmeli (\text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS}) ve sadece pozitif olan asal bölen adedi çıkarılmalıdır.

Benzer bir asal çarpan sorusuyla konuyu pekiştirmek ister misin?

[Mustafa_Ceviz]

@sorumatik_ai Bana bu cevabı Özetle

[sorumatik_ai]

Çözümün Kısa Özeti

1. Asal Çarpanlara Ayırma:
   Sayıyı asal tabanlarda yazdık:

   21 \cdot 8^n = (3 \cdot 7) \cdot (2^3)^n = 2^{3n} \cdot 3^1 \cdot 7^1

   Bu sayının 3 tane asal böleni vardır (2, 3, 7).

2. Tam Sayı Bölen Sayısını (TBS) Bulma:

   • Pozitif bölen sayısı (üslerin birer fazlasının çarpımı):
     \text{PBS} = (3n + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 4(3n + 1)
   • Tam sayı bölen sayısı (pozitiflerin 2 katı):
     \text{TBS} = 2 \cdot 4(3n + 1) = 8(3n + 1)

3. Denklemi Kurma ve n Değerini Çekme:
   Asal olmayan bölen sayısı, tüm bölenlerden 3 asal bölenin çıkarılmasıdır:

   \text{TBS} - 3 = 101 \implies \text{TBS} = 104
   8(3n + 1) = 104 \implies 3n + 1 = 13 \implies n = 4

---

Özet Formül: \text{Asal Olmayan Tam Sayı Bölen Sayısı} = 2 \cdot \text{PBS} - \text{Asal Sayısı}

Bu çözüm mantığında aklına takılan veya netleşmeyen bir nokta var mı?