\frac{1}{\log_{x^2}(y dot x)} + \frac{2}{\log_{(x^2 dot y^3)}(x dot y)}
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 8
D) 6
E) 4
Logaritma Taban Değiştirme Özelliği ile Sadeleştirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\frac{1}{\log_a(b)} = \log_b(a) \quad \text{ve} \quad \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)
k \cdot \log_a(b) = \log_a(b^k) \quad \text{ve} \quad \log_a(a^n) = n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Taban Değiştirme Kuralını Uygulama
İfadelerdeki paydada bulunan logaritmaları, taban ve argümanın yerini değiştirerek paya çıkaralım:
\frac{1}{\log_{x^2}(x \cdot y)} = \log_{x \cdot y}(x^2)
\frac{2}{\log_{(x^2 \cdot y^3)}(x \cdot y)} = 2 \cdot \log_{x \cdot y}(x^2 \cdot y^3)
Adım 2 — Katsayıyı Kuvvete Alma
İkinci terimin başındaki 2 çarpanını logaritmanın içindeki ifadenin üssü olarak yazalım:
2 \cdot \log_{x \cdot y}(x^2 \cdot y^3) = \log_{x \cdot y}\left((x^2 \cdot y^3)^2\right) = \log_{x \cdot y}(x^4 \cdot y^6)
Adım 3 — Aynı Tabandaki Logaritmaları Toplama
Her iki logaritmanın da tabanı x \cdot y olduğundan, toplam durumundaki logaritmaların içleri birbiriyle çarpılır:
\log_{x \cdot y}(x^2) + \log_{x \cdot y}(x^4 \cdot y^6) = \log_{x \cdot y}\left(x^2 \cdot x^4 \cdot y^6\right)
= \log_{x \cdot y}\left(x^6 \cdot y^6\right)
Adım 4 — Üsleri Düzenleyerek Sonuca Ulaşma
Ortak üssü parantez dışına alarak ifadeyi sadeleştirelim:
\log_{x \cdot y}\left((x \cdot y)^6\right) = 6 \cdot \log_{x \cdot y}(x \cdot y) = 6 \cdot 1 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Değiştirme (Ters Çevirme): \frac{1}{\log_a(b)} = \log_b(a) kuralı, farklı tabanlara sahip logaritmaları aynı tabanda birleştirmek için en sık başvurulan yöntemlerden biridir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 2 \cdot \log_{(x \cdot y)}(x^2 \cdot y^3) ifadesindeki 2 katsayısını sadece tabana veya sadece x^2’ye dağıtmak.- Doğru Yaklaşım: Baştaki k katsayısı, logaritmanın argümanının tamamının kuvveti olarak içeri alınır: (x^2 \cdot y^3)^2 = x^4 \cdot y^6.
Bu kuralı pekiştirmek için benzer bir taban değiştirme sorusu daha çözmek ister misin?