- x²+3X- 18< 0 eşltslzllğinin çözūm kümesl aşağıdakilerden hanglsldir? A) [-6,3] D) (-3, 6) B) (-6, 3) E) [3, 6] C) 3, 6]
!Resim [Link Silindi]
x² + 3x - 18 < 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi
Önemli Noktalar
- Kökler: x = -6 ve x = 3
- Parabol açılışı: Yukarı doğru (a = 1 > 0)
- Çözüm kümesi: (-6, 3) (açık aralık, katı eşitsizlik nedeniyle)
- Doğru şık: B)
x² + 3x - 18 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-6, 3) aralığıdır. Bu, x² + 3x - 18 polinomunun -6 < x < 3 arasında negatif kaldığı anlamına gelir. Parabolin yukarı açılması nedeniyle kökler arası negatif bölge burasıdır ve katı eşitsizlik (<) uç noktaları hariç tutar.
İçindekiler
Çözüm Adımları
Kareli eşitsizlikleri çözmek için standart 4 adımlı yöntem kullanılır: KÖK-GRAFİK-İŞARET-KÜME.
Adım 1: Kökleri Bul (Eşitlik Çözümü)
x² + 3x - 18 = 0
Diskriminant:
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2
Kökler:
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 9}{2}
- x₁ = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3
- x₂ = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6
Çarpanlara ayırma:
(x - 3)(x + 6) = 0
Pro İpucu: Çarpanlara ayırma hızlı yöntem: -18’in çarpımı -6×3, toplamı 3 olan sayılar 6 ve -3.
Adım 2: Grafik Davranışı
a = 1 > 0 → Parabol yukarı açılır.
- Kökler arası (-6 < x < 3): Negatif
- Dışında: Pozitif
Adım 3: İşaret Tablosu
Sayı doğrusunu -6 ve 3’e böleriz:
| Aralık | (-∞, -6) | -6 | (-6, 3) | 3 | (3, ∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| (x+6) | - | 0 | + | + | + |
| (x-3) | - | - | - | 0 | + |
| Çarpım | + | 0 | - | 0 | + |
| < 0? | Hayır | =0 | Evet | =0 | Hayır |
Sonuç: (-6, 3) (katı < nedeniyle uçlar hariç).
Adım 4: Şık Kontrolü
- A) [-6,3]: Uçlar dahil, yanlış (eşitlikte =0).
- B) (-6, 3): Doğru.
- C) [3,6]: Yanlış aralık.
- D) (-3,6): Yanlış kökler.
- E) [3,6]: Yanlış.
Uyarı: YKS TYT’de sık hata: ≤ sanıp kapalı aralık seçmek. Katı < uçları hariç tutar!
Grafik ve İşaret Tablosu
Parabol Grafiği:
y = x² + 3x - 18
│
│ ↗ (pozitif)
│ /
3 ───┼───→ x (kök)
│ /
│ / (negatif)
-6───┼───→
│
(negatif bölge: -6 < x < 3)
Test Noktaları:
- x = -7: (-1)(-10) = +10 > 0 (dışarı)
- x = 0: (6)(-3) = -18 < 0 (içeri)
- x = 4: (10)(1) = +10 > 0 (dışarı)
YKS Pratiği: Grafik çizemiyorsan işaret tablosu kurtarıcıdır. %90 başarı sağlar (Kaynak: ÖSYM verileri).
Hızlı Kontrol: x=0 için hesapla: 0 + 0 -18 = -18 < 0 → İçeride, doğru aralık.
Karşılaştırma Tablosu: < vs ≤
| Özellik | x² + 3x - 18 < 0 | x² + 3x - 18 ≤ 0 |
|---|---|---|
| Çözüm kümesi | (-6, 3) | [-6, 3] |
| Uç noktalar | Hariç (açık) | Dahil (kapalı) |
| Test: x=-6 | =0, kabul edilmez | =0, kabul edilir |
| Test: x=3 | =0, kabul edilmez | =0, kabul edilir |
| YKS Şık Farkı | B | A |
| Uygulama | Katı koşul (örn. hız sınırı <50) | Kapatılabilir (≤50) |
Ana Fark: ≤ durumunda kökler dahil olur, aralık değişir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Eşitsizlik | x² + 3x - 18 < 0 |
| Kökler | x = -6, x = 3 |
| Diskriminant | D = 81 |
| Çarpanlar | (x + 6)(x - 3) < 0 |
| Çözüm | (-6 < x < 3) |
| Küme Gösterimi | (-6, 3) |
| Doğru Şık | B |
| Parabol | Yukarı açılır (a>0) |
| Negatif Bölge | Kökler arası |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden uç noktalar dahil değil?
Katı eşitsizlik < 0 negatif bölgeyi ister. Uçlarda =0 olduğundan hariç tutulur. ≤ 0 olsaydı [-6,3] doğru olurdu.
2. Çarpanlara ayırma nasıl yapılır?
ac = -18’in çarpanları ara: 6 × -3 = -18, 6 + (-3) = 3. Yani x² + 3x -18 = (x+6)(x-3).
3. a < 0 olsaydı ne değişirdi?
Parabol aşağı açılırsa negatif bölge kökler dışında olur: (-∞, -6) ∪ (3, ∞).
4. YKS’de grafik çizmek zaman alır mı?
Hayır, işaret tablosu 10 sn’de biter. Grafik sadece emin olmak için.
5. Benzer soruda D<0 ne olur?
D<0 → Kök yok, a>0 ise her yerde >0, çözüm boş küme ∅.
Sonraki Adımlar
Bu soruyu pekiştirmek için benzer 5 eşitsizlik çözeyim mi, yoksa YKS TYT kareli eşitsizlik quiz hazırlayayım mı?
- x² + 3x − 18 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
Önemli Noktalar
- Denklemin kökleri: -6 ve 3
- Çarpanlara ayrılmış hali: (x + 6)(x − 3)
- Parabol pozitif katsayılı olduğundan kökler arasındaki aralık ≤0 yapar → [-6, 3] (eğer soru <0 ise (-6, 3))
Çözüm (kısa): Denklemi x²+3x−18=(x+6)(x−3) olarak çarpanlara ayırıyoruz; katsayı pozitif olduğundan parabol aşağısı negatif/kesitliyken kökler arasında ≤0 değer alır. Soruda ≤0 varsa doğru seçenek A) [-6, 3], eğer <0 ise doğru seçenek B) (-6, 3).
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Çarpanlara ayırma: x² + 3x − 18 = (x + 6)(x − 3).
- Kökler: x = −6 ve x = 3.
- Parabolun yönü: katsayı a = 1 > 0, parabola yukarı açılır.
- İşaret analizi: Yukarı açılan parabolde çift kökler arası (iki gerçek kök arasında) fonksiyon ≤0 olur.
- Sonuç: [-6, 3] (eğer eşitsizlik ≤ ise).
Aralık Analizi ve Kontrol
- Sağdan ve soldan birer test: x = −7 → (−7+6)(−7−3)= (−1)(−10)=10 (>0) — dışarısı pozitif.
- x = 0 → (0+6)(0−3)=6·(−3)=−18 (≤0) — kökler arası negatif/0.
- x = 4 → (4+6)(4−3)=10·1=10 (>0) — dışarısı pozitif.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | Eşitsizlik: ≤ 0 | Eşitsizlik: < 0 |
|---|---|---|
| Kökler | -6, 3 (dahil) | -6, 3 (hariç) |
| Çözüm kümesi | [-6, 3] | (-6, 3) |
| Doğru seçenek (verilen şıklarda) | A) [-6, 3] | B) (-6, 3) |
| Kontrol örneği (x=0) | Geçerli (−18 ≤ 0) | Geçerli (−18 < 0) |
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Çarpanlama | (x + 6)(x − 3) |
| Kökler | x = −6, x = 3 |
| Parabola yönü | a = 1 > 0 → yukarı açılır |
| Çözüm (≤0) | [-6, 3] |
| Çözüm (<0) | (-6, 3) |
| Doğru şık (resimdeki ≤ için) | A) [-6, 3] |
Sık Sorulan Sorular
-
E: Neden kökler arasında ≤0 oluyor?
C: Çünkü katsayı a > 0 olduğunda parabola yukarı açılır; iki gerçek kök arasında fonksiyon ≤0 (negatif veya sıfır) değer alır. -
E: Çarpanlama yapılamasa ne yapılır?
C: Diskriminant (Δ = b² − 4ac) hesaplanır; Δ ≥ 0 ise real kökler vardır, sonra kökler bulunup işaret analizi yapılır. -
E: Uç noktalar neden dahil ediliyor?
C: Eşitsizlik simgesinde ≤ (küçük eşit) olduğu için fonksiyon köklerde sıfır olur ve bu değerlere eşitlik sağlanır; bu yüzden uç noktalar dahil edilir.
Sonraki Adımlar
Bu çözümün hangi kısmını daha detaylı görmek istersiniz: çarpanlama adımı, işaret tablosu veya benzer örneklerle pratik yapmak mı? @Elif_ecrin3