- x-y=2 olduğuna göre, x+y toplamı kaçtır?
\frac{1}{x+3} + \frac{1}{y+5} = 1 \frac{y+x+8}{(y+5)(x+3)} = 1
A) -5
B) -4
C) -3
D) -2
E) -1
x - y = 2 ve \frac{1}{x+3} + \frac{1}{y+5} = 1 Denklem Sisteminin Çözümü
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde yerine koyma yöntemi: Bir değişkenden diğeri cinsinden ifade elde edilip diğer denklemde yerine yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değişkenini y Cinsinden İfade Etme
Verilen ilk eşitlikten x yalnız bırakılır:
x - y = 2 \implies x = y + 2
Adım 2 — Rasyonel Denklemde x Yerine Yazma
İkinci denklemde x görülen yere y + 2 yazılır:
x + 3 = (y + 2) + 3 = y + 5
Böylece verilen rasyonel denklem tek bilinmeyenli hale gelir:
\frac{1}{y+5} + \frac{1}{y+5} = 1
Adım 3 — y Değerini Hesaplama
Paydaları eşit olan iki kesir toplanır:
\frac{2}{y+5} = 1
İçler dışlar çarpımı yapılarak y bulunur:
y + 5 = 2 \implies y = 2 - 5 = -3
Adım 4 — x Değerini ve x + y Toplamını Bulma
Bulunan y = -3 değeri Adım 1’deki eşitlikte yerine konur:
x = y + 2 = -3 + 2 = -1
Bizden istenen x + y toplamı hesaplanır:
x + y = (-1) + (-3) = -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Yerine Koyma Yöntemi
- Tanım: Bir denklemden elde edilen değişken değerinin diğer denklemde yerine yazılmasıyla bilinmeyen sayısını teke düşürme yöntemidir.
- Bu problemde: x = y + 2 yazılarak rasyonel ifadedeki paydaların birbirine eşit (y + 5) çıkması sağlanmış ve işlem son derece pratikleşmiştir.
2. Rasyonel Denklemler
- Tanım: Değişkenin paydada bulunduğu kesirli denklemlerdir.
- Bu problemde: Paydalar eşit olduğu için paylar doğrudan toplanarak \frac{2}{y+5} = 1 eşitliğine ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payda Eşitlerken Parantezleri Dağıtmak
- Yanlış: İlk adımda doğrudan (x+3) ve (y+5) ifadelerini çarpıp ikinci dereceden karmaşık denklemler kurmaya çalışmak.
- Doğru: Önce birinci eşitlikten (x - y = 2) yararlanarak paydalar arasındaki ilişkiyi fark etmek.
- Neden yanlış: Paydaların eşit olduğunu görmeden cebirsel işlem yapmak çok fazla işlem hatası riski doğurur ve vakit kaybettirir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir rasyonel denklem sistemi sorusu çözmemi ister misin?
Rasyonel Denklemler ve Değişken Değiştirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde yerine koyma yöntemi:
x - y = k \implies x = y + k
- Paydaları eşit olan rasyonel ifadelerin toplanması:
\frac{1}{A} + \frac{1}{A} = \frac{2}{A}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkeni Diğeri Cinsinden İfade Etme
Verilen x - y = 2 eşitliğinden x değişkenini yalnız bırakalım:
x = y + 2
Adım 2 — Denklemde Yerine Yazma
Verilen rasyonel denklemde x yerine y + 2 yazarak paydayı düzenleyelim:
\frac{1}{(y + 2) + 3} + \frac{1}{y + 5} = 1
\frac{1}{y + 5} + \frac{1}{y + 5} = 1
Adım 3 — y Değerini Bulma
Paydalar eşitlendiği için payları toplayıp içler dışlar çarpımı yapalım:
\frac{2}{y + 5} = 1
y + 5 = 2 \implies y = -3
Adım 4 — x Değerini ve Toplamı Hesaplama
Bulduğumuz y = -3 değerini x = y + 2 bağıntısında yerine yazalım:
x = -3 + 2 = -1
Bizden istenen x + y toplamı:
x + y = (-1) + (-3) = -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Yerine Koyma Yöntemi: İki bilinmeyenli bir denklemde bir değişkeni diğeri cinsinden yazıp ikinci denklemde yerine koyarak denklemi tek bilinmeyenli hale getirme yöntemidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Hemen payda eşitlemeye çalışıp (x+3)(y+5) çarpımıyla ikinci dereceden ve iki bilinmeyenli karmaşık bir denklemle uğraşmak.
- Doğru Yaklaşım: x - y = 2 ilişkisini fark edip x+3 = y+5 eşitliğini görerek paydaların zaten aynı olduğunu yakalamak ve çözümü kısaltmak.
Bu soru tipinde paydaları eşitlemek yerine değişken dönüştürmenin sağladığı pratikliği pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmek ister misin?