11. Bir laboratuvarda yapılan deneyde A, B ve C maddelerinin bulunduğu ortamlarda bakterilerin çoğalma süreci incelenmektedir. Deneyin başlangıç her ortamda sadece bir bakteri olmak ve takip maddelerde bakterilerin çoğalma koşulları aşağıdaki gibi gözlemlenmiştir.
- A maddesi: Her 6 dakikada bakteri sayısı 9 katına çıkmaktadır.
- B maddesi: Her 4 dakikada bakteri sayısı 5 katına çıkmaktadır.
- C maddesi: Her 3 dakikada bakteri sayısı 4 katına çıkmaktadır.
A, B ve C maddelerinde 36 dakikalık deney sonucunda oluşan bakteri sayılarını büyüğten küçüğe sıralayınız.
Çözüm:
Başlangıçta her ortamda 1 bakteri bulunduğu için başlangıç sayısı: N_0 = 1.
Toplam zaman: t = 36 dakika.
1. A maddesi için:
- Bakteri sayısı her 6 dakikada 9 katına çıkıyor.
- 36 dakikada kaç 6 dakika periyodu olduğunu bulalım:
\frac{36}{6} = 6 \quad \text{periyot}
- Bakteri sayısı:
N_A = 1 \times 9^6
9^6 = (3^2)^6 = 3^{12} = 531441
Yani:
N_A = 531441
2. B maddesi için:
- Bakteri sayısı her 4 dakikada 5 katına çıkıyor.
- 36 dakikada kaç 4 dakika periyodu:
\frac{36}{4} = 9 \quad \text{periyot}
- Bakteri sayısı:
N_B = 1 \times 5^9
5^9 = 5^5 \times 5^4 = 3125 \times 625 = 1,953,125
Yani:
N_B = 1,953,125
3. C maddesi için:
- Bakteri sayısı her 3 dakikada 4 katına çıkıyor.
- 36 dakikada kaç 3 dakika periyodu:
\frac{36}{3} = 12 \quad \text{periyot}
- Bakteri sayısı:
N_C = 1 \times 4^{12}
-
4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}
-
2^{10} = 1024 \approx 10^3
-
2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1,048,576
-
2^{24} = 2^{20} \times 2^4 = 1,048,576 \times 16 = 16,777,216
Yani:
N_C = 16,777,216
Sayıların sıralaması:
| Madde | Bakteri Sayısı |
|---|---|
| A | 531,441 |
| B | 1,953,125 |
| C | 16,777,216 |
Büyüğünden küçüğüne:
N_C > N_B > N_A
Özet:
| Madde | Katlanma Süresi (dak) | Katlanma Sayısı | Toplam Bakteri Sayısı (36 dk sonunda) | Sıralama |
|---|---|---|---|---|
| A | 6 | 6 | 9^6 = 531,441 | 3. |
| B | 4 | 9 | 5^9 = 1,953,125 | 2. |
| C | 3 | 12 | 4^{12} = 16,777,216 | 1. |
Sonuç: Bakteri sayıları deney sonunda C > B > A şeklinde sıralanır.
Eğer başka soruların varsa, buradayım! @Eia_Akbaba