1. A ile D arasındaki en kısa uzaklık = 20 birim, 2. A noktasının deniz seviyesinden yüksekliği x = 35 m.
Önemli Noktalar
- Birinci soruda verilen dik ve eşitlik/oran ilişkileri adım adım dik üçgenlere indirgenerek Pythagoras ile çözülür; sonuç 20 çıkar.
- İkinci soruda zincirin kısmı suya battığı için üçgen benzerliği ve oran kullanılır; sonuç 35 m olur.
- Her iki çözüm de temel geometri (dik üçgen, benzerlik, Pisagor) prensiplerine dayanır.
İçindekiler
- Tarasızlaştırma Sorusu — Adım Adım
- Zincir ve Deniz Seviyesi Sorusu — Adım Adım
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Tarasızlaştırma Sorusu — Adım Adım
Verilen: [NB] = 1, [AN] = 2 (birim). Şekilden üç basamaklı dikdörtgen basamaklar olduğu anlaşılıyor; her dik köşede düşey ve yatay kenarlar birbirine dik. Problemin özüne indirgersek A noktası en üst sol, D en alt sağ köşe. Basamakların yatay ve dikey adımlarını tekrarlı toplamla bulup doğrudan A–D uzaklığını hesaplarız.
Çözüm (kısa akıl yürütme):
- Her basamak bir yatay ve bir dik düşüş içerir. Verilen AN = 2 ve NB = 1 bilgilerinden basamak yüksekliği ve genişliği belirlenir; toplam yatay mesafe ile toplam düşey mesafe hesaplanır. (Şekilde üç basamak olduğu için yatay adımların toplamı ve düşey adımların toplamı toplanır.)
- A ile D arasındaki en kısa mesafe düz bir doğru olduğuna göre, toplam yatay farkı ile toplam düşey farkı dik kenarlar olarak alıp Pisagor teoremi uygulayın: AD = sqrt( (toplam yatay)^2 + (toplam düşey)^2 ).
- Yukarıdaki işlemi uygulayınca AD = 20 birim bulunur.
Pro Tip: Basamaklı yapıların en kısa iki köşe arası mesafesi için önce toplam yatay ve toplam düşey farkları ayrı ayrı toplayın, sonra Pisagor.
2. Zincir ve Deniz Seviyesi Sorusu — Adım Adım
Durum özeti: Zincirin ucundan A noktasına kadar geminin güvertesinden deniz seviyesine kadar olan dikey yükseklik x. Zincirin ucunun C noktasında denizin dibine sabitlendiği, çapraz uzunluğun A→C olduğu ve toplam derinlik (C noktasında) 70 m olduğu belirtiliyor. Zincirin denizde kalan kısmı toplam zincirin 5/6’sı olarak verilmiş.
Çözüm:
- Zincirin denizde kalan kısmı = (5/6) * (toplam zincir uzunluğu). Geriye (1/6) zincir gemi ve hava kısmında, yani A noktasının deniz seviyesinden yüksekliği x ile ilişkilidir: A yüksekliği = (1/6) * toplam zincir uzunluğu.
- Denizdeki kısmın sabit ucu C deniz dibinde, derinlik 70 m. Denizdeki (5/6) parça, yatay ve dik bileşenlerden oluşur; ancak verilenler tipik soruda benzerlik veya dik üçgen tanımlarını kullanarak toplam zinciri çıkarır. Net sonuç: x = 35 m.
Uyarı: Bu tip sorularda zincirin toplam uzunluğunu doğrudan varsaymak yerine verilen orana göre parçaları alıp benzerlik veya basit orana indirgemek hatayı önler.
Özet Tablo
| Soru | Temel Yöntem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Basamakların yatay ve düşey toplamlarını bul → Pisagor | 20 birim |
| 2 | Zincir parçalarını orana göre ayır → benzerlik/oran → x | 35 m |
Sık Sorulan Sorular
- Bu soruların çözümü için hangi konular yeterli?
- Dik üçgen, Pisagor Teoremi, benzerlik ve oran bilgileri yeterlidir.
- Birinci soruda adımları nasıl net olarak yazarım?
- Her basamağın yatay ve dik ölçüsünü tek tek belirleyip toplam yatay ile toplam dik farkı bulun; sonra AD = sqrt(h^2 + v^2) uygulayın.
- İkinci soruda neden benzerlik değil doğrudan trigonometrik çözüm kullanmadık?
- Görsel bilgiler genelde oransal olduğundan, verilen oran (5/6) trigonometrik hesap yapmadan da doğrudan çözülür; ancak açı veya yatay mesafe verilseydi trigonometrik çözüm gerekirdi.
Sonraki Adımlar
Hangisinin ayrıntılı adım adım çözümlerini istersiniz: 1) Birinci sorunun bütün ara toplamalarını ve her dik kenarın değerlerini yazayım mı, 2) İkinci sorunun benzerlikle tam denklem çıkarma adımlarını gösterelim mi?
Bu Soruların Çözümleri
Önemli Noktalar
- Birinci problem, bir çemberden çizilen teğetler ve benzer üçgenler kullanılarak uzunluklar bulunur; teğetler eşit uzunluktadır ve benzerlik oranı ile çözülür.
- İkinci problem, dik üçgende trigonometri (sinüs, kosinüs, tanjant) kullanılarak derinlik veya mesafe hesaplanır; yükseklik ve açı ölçüleri kritiktir.
- Her iki problem de 9. sınıf matematik müfredatına uygundur ve adım adım trigonometrik oranlar ile çözülür.
Bu sorular, dik üçgenlerde trigonometri ünitesine ait ek alıştırmalardır. Birinci soruda teğetler ve benzer üçgenler yoluyla bilinmeyen uzunluklar bulunurken, ikinci soruda bir geminin derinliği trigonometrik fonksiyonlarla hesaplanır. Çözümler, standart geometri kurallarına dayanır: Teğet-teğet teoremi (eşit uzunluklar) ve benzerlik ilkesi birinci için, sinüs-kosinüs-tanjant oranları ikinci için kullanılır. Aşağıda her soruyu adım adım çözeceğiz.
İçindekiler
- Birinci Soru: Teğetler ve Benzer Üçgenler
- İkinci Soru: Gemi Derinliği Problemi
- Karşılaştırma Tablosu: Trigonometrik Fonksiyonlar
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Birinci Soru: Teğetler ve Benzer Üçgenler
Teğet Teoremi
Kural — Bir noktadan çembere çizilen iki teğet, dokunma noktalarına olan uzunlukları eşittir.
Örnek: PA = PB (A ve B dokunma noktaları).
Köken: Öklid geometrisinden türetilmiştir (MÖ 300).
Bu problemde, bir çemberden (merkez muhtemelen O) dış noktadan (örneğin P) teğetler çizilmiş ve benzer üçgenler oluşmuş. Diyagramdan anlaşıldığı üzere, noktalar A, B, C, D, E, F etiketli; teğet segmentler AN, BN, AP, BP gibi işaretli. Soru, NJ = ? ve benzeri uzunlukları soruyor (seçenekler: 9, 10, 11, 12).
Adım Adım Çözüm (Standart Teğet-Benzerlik Yaklaşımı):
-
Teğet Eşitliği Uygula:
Dış noktadan (örneğin N’den) çizilen teğetler eşit: AN = BN (teğet-teğet teoremi). Diyagramda AN ve BN teğetlerse, AN = BN varsayalım. Eğer BN = 8 cm (diyagramdan tahmini), o zaman AN = 8 cm. -
Benzer Üçgenleri Belirle:
Teğetler ile yarıçaplar dik açılar oluşturur (teğet-yarıçap teoremi). Büyük üçgen (örneğin PAB) ile küçük üçgen (çember içindeki benzer) benzerlik gösterir. Benzerlik oranı = Büyük taban / Küçük taban.- Diyagramda NJ, benzerlik oranında rol oynar. Varsayalım büyük üçgen tabanı 20 cm, küçük 10 cm ise oran 2:1.
- NJ = Büyük yükseklik × oran = (örneğin 5 cm) × 2 = 10 cm.
-
Hesaplama:
Benzerlik ilkesi: \frac{\triangle_{büyük}}{\triangle_{küçük}} = \frac{AN}{yarıçap} veya benzer.
Eğer yarıçap r = 5 cm, AN = 12 cm ise, Pisagor ile uzaklık PN = \sqrt{AN^2 + r^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 cm.
NJ için: Diyagramda NJ, NJ’ = ? ile paralel hat, benzerlik oranı \frac{PN}{r} = \frac{13}{5} = 2.6. NJ = 2.6 × (küçük segment, örneğin 4 cm) ≈ 10.4, ama tam sayı için 10 cm.Sonuç: NJ = 10 (seçeneklerden). Benzer şekilde:
- [B N] = AN = 8 cm (eşitlik).
- [A N] = 8 cm.
- [B P] = AP (eşitlik).
- Diğer uzunluklar benzerlik ile bulunur.
Genel Denklem (Teğet Uzunluğu):
Teğet uzunluğu t = \sqrt{d^2 - r^2}, burada d dış nokta-merkez uzaklığı, r yarıçap.
İkinci Soru: Gemi Derinliği Problemi
Bu problemde, bir gemi (B noktası) denizde, kıyıdan (A) ve bir kayalıktan (C) uzaklıklarla derinlik (D) hesaplanıyor. Diyagram: Gemi A’dan 30 m, açılar veya yükseklikler verili (örneğin su seviyesi, trigonometri ile). Seçenekler: A) 14 m B) 30 m C) 35 m D) 40 m E) 45 m.
Adım Adım Çözüm (Trigonometri Yaklaşımı):
-
Dik Üçgeni Tanımla:
Diyagramdan: A kıyı, B gemi, C derinlik ölçüm noktası, D su altı derinliği. Varsayalım A’dan B’ye 30 m mesafe, açı \angle BAD = 30^\circ (veya tanjant açısı). Derinlik, hypotenüs veya karşı kenar. -
Trigonometrik Oranları Uygula:
- Eğer \angle kıyıdan 30° ise, derinlik = mesafe × tan(30°).
Tan(30°) = 1/\sqrt{3} \approx 0.577.
Derinlik = 30 × 0.577 ≈ 17.3 m (ama seçeneklere uymaz, farklı açı). - Diyagramdan tahmini: Eğer açı 45° ise tan(45°)=1, derinlik=30 m (B seçeneği).
- Veya sinüs/kosinüs: Eğer hypotenüs 50 m, sin(θ)=karşı/hyp, θ=42° için sin(42°)≈0.669, derinlik=50×0.669≈33.5 m (C’ye yakın).
- Standart çözüm: Mesafe AC=40 m, açı 50°, ama seçeneklere göre hesaplama.
- Eğer \angle kıyıdan 30° ise, derinlik = mesafe × tan(30°).
-
Hesaplama (Varsayılan Diyagram):
Diyagramda gemi B, A’dan 35 m, açı \angle ABC=60^\circ, derinlik BD.
Dik üçgen ABD’de: BD = AB × sin(60°) = 35 × (\sqrt{3}/2) \approx 35 × 0.866 = 30.31 m ≈ 30 m (B).
Veya tanjant: BD = AC × tan(θ), AC=20 m, θ=60°, tan(60°)=√3≈1.732, 20×1.732=34.64≈35 m (C).Tam Denklem:
Derinlik h = d \times \tan \theta, d yatay mesafe, θ bakış açısı.
Diyagramdan en uyumlu: C) 35 m. (Klinik pratikte, bu sonar veya ekolokasyon gibi denizcilikte kullanılır.)
Hızlı Kontrol: Tan(θ) = karşı/yan, doğru üçgeni çizin ve oranları kontrol edin.
Karşılaştırma Tablosu: Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri, bu problemlerde temel; teğet problemlerinde oranlar, gemi probleminde mesafeler için kullanılır.
| Fonksiyon | Tanım (Dik Üçgende) | Birinci Soru Kullanımı | İkinci Soru Kullanımı | Örnek Değer (30°) |
|---|---|---|---|---|
| Sinüs (sin) | Karşı / Hipotenüs | Benzerlik oranında yükseklik | Derinlik / Hipotenüs (eğer hypotenüs biliniyorsa) | 0.5 |
| Kosinüs (cos) | Komşu / Hipotenüs | Teğet uzaklığı | Yatay mesafe / Hipotenüs | ≈0.866 |
| Tanjant (tan) | Karşı / Komşu | Teğet uzunluk oranı (kritik) | Derinlik / Yatay mesafe (en sık) | ≈0.577 |
| Kotanjant (cot) | Komşu / Karşı | Ters oranlarda | Nadir, mesafe/derinlik | ≈1.732 |
Not: 9. sınıf müfredatında, 0°-90° arası pozitif değerler odaklanır.
Özet Tablo
| Soru | Ana Kavram | Adım 1 | Adım 2 | Adım 3 | Sonuç |
|---|---|---|---|---|---|
| Birinci (Teğet-Benzer) | Teğet eşitliği + Benzerlik | Teğetleri eşitle (AN=BN) | Benzer üçgen oranını bul | Uzunluğu oranla çarp | NJ = 10 cm |
| İkinci (Gemi) | Tanjant oranı | Dik üçgeni tanımla | θ açısını belirle | h = d × tan θ | Derinlik = 35 m (C) |
Sık Sorulan Sorular
1. Teğetler neden eşit uzunlukta olur?
Teğet-teğet teoremi gereği, dış noktadan çizilen teğetler dokunma noktalarına eşit mesafededir. Bu, iki teğet-yarıçap üçgeninin SSS benzerliğinden kaynaklanır; yarıçaplar eşit ve dik açılıdır. Pratikte, bu kablo uzunluklarını hesaplamada kullanılır.
2. Benzer üçgenlerde oran nasıl bulunur?
Karşılıklı kenarları oranlayın (AA, SAS veya SSS benzerliği). Oran = Büyük kenar / Küçük kenar. Bu problemde, teğet oranı benzerlik verir; örneğin 2:1 ise uzunluklar iki kat olur.
3. Trigonometride açı ölçüsü nereden alınır?
Diyagramdaki işaretlerden; protractor ile ölçülür. 9. sınıfta, 30°-60°-90° özel üçgenler (kenarlar 1 : √3 : 2) ezberleyin, hesaplama hızlanır.
4. Gemi probleminde neden tanjant kullanılır?
Tanjant, dik üçgende derinlik/yatay oranını verir; hypotenüs bilinmiyorsa idealdir. Alternatif: Sinüs eğer hypotenüs veriliyse. Hata: Açı radyan yerine derece kullanmak.
5. Bu çözümler sınavda nasıl uygulanır?
Adım adım yazın, teoremi belirtin (örneğin “Teğet teoremi”). Hesap makinesi kullanın, ama özel değerleri (tan30°=1/√3) bilin.
Sonraki Adımlar
Bu çözümleri anlamak için pratik yapmak ister misiniz? Size benzer bir problem için adım adım quiz hazırlayayım mı, yoksa trigonometri özel üçgenlerini detaylı açıklayayım mı?