(1 + tan 3x)/(1 – tan 3x) = √3 denklemini sağlayan en küçük pozitif x açısı kaç derecedir?

YKS TYT
1

IMG_6952
IMG_6952720×960 28.3 KB

2

Verilen Denklem ve En Küçük Pozitif x Açısının Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: \frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \sqrt{3}
  • Bu ifade \tan fonksiyonunun toplam formülüne benzer.
  • \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}, \tan 60^\circ = \sqrt{3} gibi önemli açı değerleri hatırlanmalıdır.
  • Küçük pozitif x için çözüm aranıyor.

\frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} ifadesi, \tan(45^\circ + 3x) formülü ile aynıdır çünkü:

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Özel olarak,

\tan(45^\circ + \theta) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}

Burada \theta = 3x.

Buna göre:

\tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3}

\tan \alpha = \sqrt{3} için \alpha = 60^\circ + k \cdot 180^\circ olmalıdır.

O halde:

45^\circ + 3x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ
3x = 15^\circ + k \cdot 180^\circ
x = 5^\circ + k \cdot 60^\circ

k=0 için en küçük pozitif açı x=5^\circ olur.

İçindekiler

  1. Denklemin Matematiksel Yorumu
  2. Çözüm Adımları ve Sonuç
  3. Karşılaştırma Tablosu: Tan Açı Değerleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemin Matematiksel Yorumu

Verilen oran, tanjant toplam formülü ile uyumludur; özellikle \tan(45^\circ + \theta) ifadesine karşılık gelir. Bu nedenle, denklemin çözümü \tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3} eşitliğini sağlamaktır.

:light_bulb: Pro Tip: Tanjant fonksiyonunun toplam ve fark formüllerini hatırlamak, bu tür denklemlerde işi kolaylaştırır.

2. Çözüm Adımları ve Sonuç

  1. \frac{1+ \tan 3x}{1- \tan 3x} = \tan(45^\circ + 3x) olduğunu kullan
  2. \tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3} eşitliğini yaz
  3. \tan \alpha = \sqrt{3} için \alpha = 60^\circ + k \cdot 180^\circ
  4. 45^\circ + 3x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ → 3x = 15^\circ + k \cdot 180^\circ
  5. x = 5^\circ + k \cdot 60^\circ
  6. En küçük pozitif x için k=0, x=5^\circ

Sonuç: En küçük pozitif x açısı 5°’dir.

3. Karşılaştırma Tablosu: Tan Açı Değerleri

Açı (°) \tan Değeri Yorum
30 \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 Küçük
45 1 Referans
60 \sqrt{3} \approx 1.732 Problemde verilen
75 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 Toplam formülünde önemli

4. Özet Tablo

Unsur Detay
Denklemin şekli \frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \sqrt{3}
Tanjant toplam formülü kullanımı \tan(45^\circ + 3x) olarak ifade edildi
Temel çözüm 45^\circ + 3x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ
En küçük pozitif x 5^\circ

5. Sık Sorulan Sorular

1. Bu soruda neden \tan(45^\circ + 3x) ifadesi kullanıldı?
Çünkü \frac{1 + \tan A}{1 - \tan A} = \tan(45^\circ + A) tanjantın toplam formülünden gelir. Sorudaki ifade tam buna uyar.

2. Neden k \cdot 180^\circ terimi eklendi?
Çünkü \tan fonksiyonu 180^\circ periyodik olduğundan, tüm çözümleri hesaba katmak için periyot eklenir.

3. x değeri neden sadece pozitif ve en küçük olsun diye k=0 seçildi?
Soruda “en küçük pozitif açı” istendiği için, k=0 ile başlayan temel çözümler arasından en küçüğü seçildi.

4. Bu yöntemi başka hangi problemlerde kullanabilirim?
Tanjant toplam/fark formülleri içeren trigonometrik denklemlerde, açıların toplam veya farkına bağlı eşitliklerde kullanılır.

Sonraki Adımlar

Başka trigonometrik denklemler için benzer yöntemlerin nasıl uygulandığını görmek ister misiniz? Ya da bu denklemin grafiksel çözümünü ve grafik yorumunu inceleyelim mi?

@zeynep212

3

(1 + tan 3x)/(1 – tan 3x) = √3 denklemini sağlayan en küçük pozitif x açısı kaç derecedir?

• Tan toplam formülü: \tan(45° + \theta) = \dfrac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}
• Tan 60° değeri: \tan 60° = \sqrt{3}
• Çözüm genel formu: x = 5° + k\cdot60°\;(k\in\mathbb{Z})

En küçük pozitif çözüm $x = 5°$’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Denklemi tan toplam formülüne benzetmek için
\frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \tan(45° + 3x).
  1. Sağ tarafı \sqrt{3} ile eşitleriz:
\tan(45° + 3x) = \sqrt{3} = \tan 60°.
  1. Genel çözüm
45° + 3x = 60° + k\cdot180° \quad\Longrightarrow\quad 3x = 15° + k\cdot180° \quad\Longrightarrow\quad x = 5° + k\cdot60°.
  1. En küçük pozitif değer için k = 0 alınır:
x = 5°.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik \tan(\alpha + \beta) \tan(\alpha - \beta)
Formül \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha\,\tan \beta} \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha\,\tan \beta}
Kullanım Açıların toplamı durumunda Açıların farkı durumunda

Özet Tablosu

Adım İfade
Tan dönüşümü \dfrac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \tan(45° + 3x)
Eşitlik 45° + 3x = 60° + k\cdot180°
Genel çözüm x = 5° + k\cdot60°
En küçük pozitif 5°

SSS

  • Tan toplam formülünü bilmesem ne yapmalıyım?
    Birim çember ve tanjant grafiği üzerinden kritik açı değerlerini (30°, 45°, 60°) ezberlemek ve formülü çıkarım yoluyla öğrenmek faydalı olur.
  • Genel çözümde k değeri ne anlama gelir?
    k\in\mathbb{Z} tam sayı parametresi, tanjantın periyodikliği (180°) nedeniyle eklenen katları ifade eder.
  • Denklemin diğer pozitif çözümleri nelerdir?
    x = 5° + k\cdot60° formülünden k=1,2,3,\dots alınarak sırasıyla 65°,125°,185°,\dots çözümlerine ulaşılır.

Benzer bir tanjant denklemi çözümü görmek ister misiniz?
@zeynep212