\frac{1 + os x + \sin^2 x}{2 os x - os^2 x} - 1 ifadesinin en sade hâlini bulun.
Trigonometrik İfadenin Sadeleştirilmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1 - \cos^2 x
- Rasyonel ifadelerde çıkarma kuralı: \frac{A}{B} - 1 = \frac{A - B}{B}
- İkinci dereceden çarpanlara ayırma: 2 - u - u^2 = (2 + u)(1 - u)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Temel Trigonometrik Özdeşliği Kullanarak Payı Düzenleme
Verilen ifadenin payındaki \sin^2 x yerine 1 - \cos^2 x yazarak tüm payı \cos x cinsinden ifade edelim:
\text{Pay} = 1 + \cos x + \sin^2 x
\text{Pay} = 1 + \cos x + (1 - \cos^2 x)
\text{Pay} = 2 + \cos x - \cos^2 x
Adım 2 — Payda Eşitleme ve Çıkarma İşlemini Uygulama
Bulduğumuz pay ifadesini kesirde yerine koyup -1 terimi ile payda eşitleyelim:
\frac{2 + \cos x - \cos^2 x}{2 - \cos x - \cos^2 x} - 1 = \frac{(2 + \cos x - \cos^2 x) - (2 - \cos x - \cos^2 x)}{2 - \cos x - \cos^2 x}
Adım 3 — Payı Sadeleştirme
Pay kısmındaki parantezi, eksi işaretini içeriye dağıtarak açalım ve benzer terimleri toplayalım:
\text{Pay} = 2 + \cos x - \cos^2 x - 2 + \cos x + \cos^2 x
\text{Pay} = (2 - 2) + (\cos x + \cos x) + (-\cos^2 x + \cos^2 x)
\text{Pay} = 2\cos x
Adım 4 — Paydayı Çarpanlarına Ayırma
Elde edilen kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım:
2 - \cos x - \cos^2 x = -(\cos^2 x + \cos x - 2) = -(\cos x + 2)(\cos x - 1) = (2 + \cos x)(1 - \cos x)
Böylece ifadenin en sade hâli elde edilir:
\frac{2\cos x}{2 - \cos x - \cos^2 x} = \frac{2\cos x}{(2 + \cos x)(1 - \cos x)}
(Not: Eğer sorunun paydasındaki ilk işaret baskı hatasından dolayı + ise ifade \frac{2+\cos x-\cos^2 x}{2+\cos x-\cos^2 x} - 1 = 1 - 1 = 0 değerini alır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
\mathbf{\frac{2\cos x}{2 - \cos x - \cos^2 x} \quad \text{veya} \quad \frac{2\cos x}{(2 + \cos x)(1 - \cos x)}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Özdeşliği (\sin^2 x + \cos^2 x = 1): Karışık trigonometrik ifadeleri tek bir değişkene (\sin x veya \cos x) indirgemek için en sık kullanılan temel bağıntıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kesirden 1 çıkarırken paydadaki ifadenin önüne gelen eksi işaretini sadece ilk terime dağıtıp diğer terimlerin işaretini değiştirmemek.- Doğru Yaklaşım: Eksi işaretini paydadaki tüm terimlere dağıtarak -(2 - \cos x - \cos^2 x) = -2 + \cos x + \cos^2 x şeklinde işlem yapmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?