1 kg kütleli cisim sürtünmesiz yatay düzlemde yay sabiti 40 N/m olan yaya bağlı iken düzlem KL doğrultusu etrafında 2 rad/s açısal hızla şekildeki gibi dönerken yayda kaç Joule enerji depolanır?
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,4
D) 0,5
E) 1
Düzgün Çembersel Hareket ve Yay Potansiyel Enerjisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Merkezcil Kuvvet: F_{\text{merkezcil}} = m \cdot \omega^2 \cdot r
- Yay Kuvveti (Hooke Yasası): F_{\text{yay}} = k \cdot x
- Yayda Depolanan Esneklik Potansiyel Enerjisi: E_{\text{yay}} = \frac{1}{2} k x^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Cisme Etki Eden Merkezcil Kuvveti Bulma
Sürtünmesiz yatay düzlemde dönme hareketi yapan cisme etki eden net kuvvet, onu yörüngede tutan merkezcil kuvvettir. Şekilde verilen dönme yarıçapı r = 1\text{ m} alınırsa:
F_{\text{merkezcil}} = m \cdot \omega^2 \cdot r
F_{\text{merkezcil}} = 1\text{ kg} \cdot (2\text{ rad/s})^2 \cdot 1\text{ m} = 4\text{ N}
Adım 2 — Yayın Uzama Miktarını (x) Hesaplama
Cisme merkeze doğru uygulanan tek kuvvet yay kuvveti olduğundan, merkezcil kuvveti oluşturan yay kuvvetidir (F_{\text{yay}} = F_{\text{merkezcil}}):
k \cdot x = F_{\text{merkezcil}}
40 \cdot x = 4
x = \frac{4}{40} = 0{,}1\text{ m}
Adım 3 — Yayda Depolanan Enerjiyi Hesaplama
0{,}1\text{ m} uzayan yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi:
E_{\text{yay}} = \frac{1}{2} k x^2
E_{\text{yay}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0{,}1)^2 = 20 \cdot 0{,}01 = 0{,}2\text{ Joule}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 0,2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Merkezcil Kuvvet: Dairesel hareket yapan cisimleri yörüngede tutan merkeze doğru olan net kuvvettir. Bu soruda bu görevi yayın uyguladığı gerilme kuvveti üstlenir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yay enerjisini bulurken \frac{1}{2} m v^2 (öteleme kinetik enerjisi) formülüyle karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: Yayın depoladığı enerji daima esneklik potansiyel enerjisi formülü olan E = \frac{1}{2} k x^2 bağıntısı ile hesaplanır.
Bu konuyla ilgili dönme ekseni veya sürtünmeli zemin içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai esmerkezli hesaplarken neden sıkışan miktarı dahil etmedik
Yarıçap ve Uzama Miktarı (x) İlişkisi
Harika bir fiziksel sezgi ve çok dikkatli bir yaklaşım! Teorik mekanik açısından sorduğun bu soru son derece haklı bir noktaya parmak basıyor.
Bu soruda uzama miktarının (x) dönme yarıçapına eklenmemesinin iki temel sebebi bulunmaktadır:
1. Şekilde Verilen Uzaklığın Anlamı (Denge Durumu)
Şekilde sistem dönerken resmedilmiştir (\omega = 2\text{ rad/s} gösterilmiştir). Şekil üzerinde oklarla gösterilen 1\text{ m}'lik mesafe, yayın serbest hâldeki boyu değil; cismin dönme eksenine olan anlık uzaklığı yani hareketin yörünge yarıçapıdır (r = 1\text{ m}). Merkezcil kuvvet formülündeki r, daima cismin dönme eksenine olan toplam dik uzaklığıdır.
2. Soru Kurgusu ve Seçenek Uyumu (Müfredat Yaklaşımı)
Eğer 1\text{ m} değeri yayın dönmeden önceki serbest boyu (l_0) kabul edilip uzama miktarı yarıçapa eklenseydi (r = l_0 + x):
F_{\text{yay}} = F_{\text{merkezcil}}
k \cdot x = m \cdot \omega^2 \cdot (1 + x)
40 \cdot x = 1 \cdot (2)^2 \cdot (1 + x)
40x = 4 + 4x
36x = 4 \implies x = \frac{1}{9}\text{ m}
Bu durumda yayda depolanan enerji:
E = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{20}{81} \approx 0{,}247\text{ J}
olurdu.
Görüldüğü üzere çıkan 0{,}247\text{ J} değeri seçeneklerde (0{,}1 - 0{,}2 - 0{,}4 - 0{,}5 - 1) bulunmamaktadır.
Özetle:
- Fizik sorularında şekil üzerinde dönme anında verilen uzaklık doğrudan dönme yarıçapı (r) kabul edilir.
- Lise ve üniversiteye hazırlık testlerinde yay uzaması (x), dönme yarıçapının yanında çok küçük kaldığı durumlarda ihmal edilebilir veya doğrudan r sabit alınarak işlem yaptırılır.
Bu tür yaylı sistemlerde serbest boyun açıkça verildiği ve r = l_0 + x denkleminin kurulduğu ileri düzey bir örnek çözmek ister misin?