(1, e) açık aralığında, I. sin(ln(x)) fonksiyonu artandır. II. cos(ln(x)) fonksiyonu artandır. III. tan(ln(x)) fonksiyonu artandır. İfadelerinden hangileri doğrudur?

YKS TYT
1

17677926848981307870672549605190
17677926848981307870672549605190720×960 27.8 KB

2

(1, e) açık aralığında, I. sin(ln(x)) fonksiyonu artandır. II. cos(ln(x)) fonksiyonu artandır. III. tan(ln(x)) fonksiyonu artandır. İfadelerinden hangileri doğrudur?

Anahtar Çıkarımlar

  • ln(x) fonksiyonu (1, e) aralığında ( (0,1) ) değerlerini alır.
  • (\sin(\ln x)) ve (\tan(\ln x)) türevleri pozitif, (\cos(\ln x)) türevi negatiftir.
  • Doğru ifadeler: I ve III.

Doğru Cevap: (\sin(\ln x)) ve (\tan(\ln x)) fonksiyonları (1, e) aralığında artandır; (\cos(\ln x)) azalandır. Bu nedenle I ve III doğru ifadeleridir.

İçindekiler

  1. Türev ile Monotonluk Analizi
  2. Karşılaştırmalı Monotonluk Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Türev ile Monotonluk Analizi

  1. ln(x) aralığı
    (\displaystyle x\in(1,e)\implies \ln(x)\in(0,1)).
  2. Fonksiyonların türevleri
    • (f(x)=\sin(\ln x)) için
      $$f’(x)=\cos(\ln x),\frac{1}{x}$$
      Çünkü (\ln(x)\in(0,1)) aralığında (\cos(\ln x)>0) ve (1/x>0), dolayısıyla (f’(x)>0) → artan.
    • (g(x)=\cos(\ln x)) için
      $$g’(x)=-\sin(\ln x),\frac{1}{x}$$
      (\sin(\ln x)>0), bu yüzden (g’(x)<0) → azalan.
    • (h(x)=\tan(\ln x)) için
      $$h’(x)=\sec^2(\ln x),\frac{1}{x}>0$$
      Hem (\sec^2(\ln x)>0) hem de (1/x>0) olduğundan (h’(x)>0) → artan.

Karşılaştırmalı Monotonluk Tablosu

Fonksiyon Türev İşareti Monotonluk
(\sin(\ln x)) (+) (pozitif) Artan
(\cos(\ln x)) (-) (negatif) Azalan
(\tan(\ln x)) (+) (pozitif) Artan

Özet Tablosu

Öğe Değer
Aralık (x\in(1,e))
(\ln(x)) aralığı ((0,1))
(\sin(\ln x)) monotonluğu Artan
(\cos(\ln x)) monotonluğu Azalan
(\tan(\ln x)) monotonluğu Artan
Doğru ifadeler I ve III

SSS

  1. Neden ln(x) değerleri (0,1) arasında değerlendirilir?
    Çünkü (\ln(1)=0) ve (\ln(e)=1).
  2. Bir fonksiyonun monoton artan olması için türevinin tüm aralıkta pozitif olması yeterli midir?
    Evet, eğer türev sürekli ve tamamı pozitifse fonksiyon monotondur.
  3. (1,e) yerine (e,e^2) aralığında sonuç değişir mi?
    Bu aralıkta (\ln(x)\in(1,2)) olduğundan (\cos(\ln x)) işareti farklı aralıklarda değişebilir.
  4. Türev işareti değişimi fonksiyonun tepe noktası olduğu anlamına mı gelir?
    Evet, türev işaretinin pozitiften negatif veya negatiften pozitife geçişi ekstremum işaret eder.

Başka bir aralıkta bu fonksiyonların monotonluğunu incelememi ister misin?
@mroosoos

3

(1. e) Açık Aralığında Verilen Fonksiyonların Artanlığı

Önemli Noktalar

  • sin(ln(x)), cos(ln(x)) ve tan(ln(x)) fonksiyonlarının artan olup olmadığı, türevlerinin işaretine bağlıdır.
  • Doğal logaritma fonksiyonu ( \ln(x) ) (0, \infty) aralığında tanımlıdır ve türevi pozitiftir.
  • Her fonksiyonun türevini bularak artanlıkları kontrol etmek gerekir.

(f(x) = \sin(\ln(x))) fonksiyonunun türevi:
[
f’(x) = \cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}
]
Burada ( \frac{1}{x} > 0 ) için (x>0), artanlık ( \cos(\ln(x)) ) işaretine bağlıdır. Yani sin(ln(x)) fonksiyonu sadece ( \cos(\ln(x)) > 0 ) olduğunda artar.

(g(x) = \cos(\ln(x))) fonksiyonunun türevi:
[
g’(x) = -\sin(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}
]
Benzer şekilde, ( \frac{1}{x} > 0 ) olduğundan türevin işareti ( -\sin(\ln(x)) )'e bağlıdır. Yani cos(ln(x)) fonksiyonu ancak ( \sin(\ln(x)) < 0 ) ise artar.

(h(x) = \tan(\ln(x))) fonksiyonunun türevi:
[
h’(x) = \sec^2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}
]
Burada, ( \sec^2 ) her zaman pozitif olduğu için ve ( \frac{1}{x} > 0), türev her zaman pozitif, yani tan(ln(x)) fonksiyonu ((0,\infty)) aralığında her zaman artar.

Sonuç

Fonksiyon Türev İşareti Altına Bağlı Açıklama Artar mı?
sin(ln(x)) ( \cos(\ln(x)) ) (\cos(\ln(x)) > 0) şartında Kısmen, sürekli değil
cos(ln(x)) (-\sin(\ln(x))) (\sin(\ln(x)) < 0) şartında Kısmen, sürekli değil
tan(ln(x)) Pozitif ((\sec^2)) Türev hep pozitif Her zaman artar

Soru ise açık aralıkta bu fonksiyonların tamamının artan olup olmadığını sormaktadır. tan(ln(x)) fonksiyonu kesin artarken, diğerleri aralığın tamamında artan değildir.

Doğru cevap:

III. tan(ln(x)) fonksiyonu artandır.
Burada sadece III doğru, diğerleri sürekli artmaz.

Seçeneklerde sadece III yok, en yakın olan C şıkkı: Yalnız III doğru olmalıdır ama seçeneklerde yer almıyor.

Tekrar kontrol: soruda seçenekler:
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
E) I, II ve III

Burada sadece III doğru ama seçenek yoksa verilen cevaplar arasında yanlışlık var. Ancak matematiksel olarak:

  • I ve II artmaz (türev sinüs ve kosinüsün işaretine bağlı)
  • III kesin artandır.

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Türevlerinin İncelenmesi
  2. Artanlık Şartlarının Analizi
  3. Sonuç ve Doğru Seçenek

1. Fonksiyonların Türevlerinin İncelenmesi

  • (f(x) = \sin(\ln x)) için
    [
    f’(x) = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}
    ]
    Burada (x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0), yani türevin işareti ( \cos(\ln x) )'e bağlıdır. ( \cos(\ln x) ) pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artar, negatif olduğu aralıklarda azalır. Böylece tam açık aralıkta artan değildir.

  • (g(x) = \cos(\ln x)) için
    [
    g’(x) = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x}
    ]
    Burada da türev işareti ( -\sin(\ln x) )'e bağlıdır. ( \sin(\ln x) < 0 ) olduğunda fonksiyon artar. Tıpkı 1. fonksiyonda olduğu gibi tam açık aralıkta artan değildir.

  • (h(x) = \tan(\ln x)) için
    [
    h’(x) = \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}
    ]
    (\sec^2) her zaman pozitif, ve ( \frac{1}{x} > 0 ) olduğu için türev hep pozitiftir. Böylece tan(ln x) fonksiyonu tüm açık aralıkta artandır.

:warning: Uyarı: Burada ln(x)'in tanımlı olduğu aralık (x>0)dır.

2. Artanlık Şartlarının Analizi

  • Sinüs ve kosinüsün aralık aralık işaret değiştirmesi, fonksiyonların tüm açık aralıkta artan olmadığı sonucunu verir.
  • Yalnızca tan(ln x) fonksiyonunun türevi pozitif olduğundan tam açık aralıkta artandır.

3. Sonuç ve Doğru Seçenek

Sorunun doğru cevabı sadece III numaralı ifadenin doğru olmasıdır. Seçeneklerde direkt “yalnız III” yok. En uygun seçenek, sadece III doğru ise bu yalnız III olur.
Eğer bu yoksa seçeneklerden yoktur denebilir veya verilen seçeneklere göre yoktur.

Özet Tablo

İfade Artan mı? Açıklama
I. sin(ln(x)) Hayır Türev işareti değişir
II. cos(ln(x)) Hayır Türev işareti değişir
III. tan(ln(x)) Evet Türev hep pozitiftir

Sık Sorulan Sorular

1. sin(ln(x)) neden tam aralıkta artmaz?
Çünkü türev fonksiyonu (\cos(\ln x)/x) ve (\cos(\theta)) pozitif-negatif değiştiği için fonksiyon parçalı artar-azalır.

2. tan(ln(x)) her zaman nasıl artar?
Çünkü türevi (\sec^2(\ln x)/x) ve (\sec^2) daima pozitiftir, (x>0) aralığında da pozitif olduğundan kesin artan fonksiyon.

3. Açık aralıkta fonksiyon artan olması ne demek?
Tüm açık aralıkta her yerde türevinin pozitif olması demektir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz türev fonksiyonlarının grafikleri üzerinden bu fonksiyonların grafik davranışlarını inceleyebilir veya benzer fonksiyonların artanlık koşullarını detaylı çözebiliriz.

Size fonksiyonların türevleri ve artanlıkları hakkında grafik çizimleriyle destekli bir açıklama hazırlar mıyım?

@mlroosoos