1’den 9’a kadar numaralanmış 9 kart bir torbaya atılıyor. Emel bu torbadan üç kart çekiyor. Begüm, Emel’e hangi kartları çektiğini sorduğunda aralarında şöyle bir konuşma geçiyor:
- Çektiğim kartların üzerindeki sayıların toplamı 12’dir.
- Çektiğin kartları tahmin etmeme yardımcı olacak bir bilgi daha verebilir misiniz?
Buna göre Emel’in söylediği ifadelerden hangilerini söylediğinde Begüm kesinlikle Emel’in hangi kartları çektiğini bulabilir?
İfadeler:
I. Kartlardan birinin üzerindeki sayı 8’dir.
II. Kartların üzerindeki sayılar ardışık doğal sayılardır.
III. Kartların üzerindeki sayılar ardışık çift doğal sayılardır.
Çözüm:
Verilenler:
- Kartlar 1’den 9’a kadar numaralanmış.
- Emel 3 kart çekiyor.
- Çekilen kartların toplamı 12.
Amaç:
Begüm, Emel’in hangi kartları çektiğini kesinlikle bulabilmeli.
Adım 1: Toplam 12 olan 3 kart kombinasyonlarını bulalım.
1’den 9’a kadar olan kartlardan 3’lü kombinasyonlar ve toplamları 12 olanlar:
| Kartlar | Toplam |
|---|---|
| 1, 2, 9 | 12 |
| 1, 3, 8 | 12 |
| 1, 4, 7 | 12 |
| 1, 5, 6 | 12 |
| 2, 3, 7 | 12 |
| 2, 4, 6 | 12 |
| 3, 4, 5 | 12 |
Adım 2: İfadeleri tek tek inceleyelim.
I. Kartlardan birinin üzerindeki sayı 8’dir.
- 8 içeren toplamı 12 olan kombinasyon: (1, 3, 8)
- Başka 8 içeren kombinasyon yok.
- Bu bilgiyle Begüm kesinlikle kartları bulabilir: (1, 3, 8)
II. Kartların üzerindeki sayılar ardışık doğal sayılardır.
- Ardışık doğal sayılar 3 tane ve toplamları 12 olanlar:
- (3, 4, 5) → 3+4+5=12
- Başka ardışık 3 sayının toplamı 12 değil.
- Bu bilgiyle Begüm kesinlikle kartları bulabilir: (3, 4, 5)
III. Kartların üzerindeki sayılar ardışık çift doğal sayılardır.
- Ardışık çift sayılar 3 tane ve toplamları 12 olanlar:
- (2, 4, 6) → 2+4+6=12
- Başka ardışık çift sayılar toplamı 12 değil.
- Bu bilgiyle Begüm kesinlikle kartları bulabilir: (2, 4, 6)
Adım 3: İfadelerin kombinasyonları
- Yalnız I: Kartlar (1, 3, 8) kesin bulunur.
- Yalnız II: Kartlar (3, 4, 5) kesin bulunur.
- Yalnız III: Kartlar (2, 4, 6) kesin bulunur.
Ama soruda “hangi ifadeleri söylediğinde Begüm kesinlikle kartları bulabilir?” diye soruluyor.
Adım 4: İfadelerin birlikte söylenmesi durumu
-
I ve II birlikte:
I → kartlarda 8 var (1,3,8)
II → ardışık doğal sayılar (3,4,5)
Bu çelişki yaratır, çünkü 8 ardışık doğal sayılar arasında olamaz.
Bu durumda Begüm hangi kartlar olduğunu kesin bulabilir mi? Hayır, çünkü ifadeler çelişiyor. -
I ve III birlikte:
I → kartlarda 8 var (1,3,8)
III → ardışık çift sayılar (2,4,6)
8 ardışık çift sayılar arasında değil, çelişki var.
Begüm kesin bulamaz. -
II ve III birlikte:
II → ardışık doğal sayılar (3,4,5)
III → ardışık çift sayılar (2,4,6)
İki farklı grup, çelişki var.
Begüm kesin bulamaz. -
I, II ve III birlikte:
Üçü birden çelişiyor, kesin bulamaz.
Sonuç:
Begüm, Emel’in hangi kartları çektiğini kesinlikle bulabilir yalnızca I, II veya III ifadelerinden biri söylendiğinde.
Ancak soruda seçenekler:
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
Bu durumda, I, II ve III ifadelerinden sadece biri söylendiğinde Begüm kesin bulabilir.
Ama soruda “hangi ifadeleri söylediğinde Begüm kesinlikle kartları bulabilir?” diye soruluyor.
İfadelerin anlamı:
- I: Kartlardan biri 8
- II: Kartlar ardışık doğal sayılar
- III: Kartlar ardışık çift doğal sayılar
İfadelerden hangileri birlikte söylendiğinde Begüm kesin kartları bulabilir?
- I ve II birlikte söylendiğinde çelişki var, kesin bulamaz.
- I ve III birlikte söylendiğinde çelişki var, kesin bulamaz.
- I, II ve III birlikte söylendiğinde çelişki var, kesin bulamaz.
Özet Tablosu:
| İfade Kombinasyonu | Kesin Kartlar Bulunabilir mi? | Bulunan Kartlar (Varsa) |
|---|---|---|
| Yalnız I | Evet | (1, 3, 8) |
| Yalnız II | Evet | (3, 4, 5) |
| Yalnız III | Evet | (2, 4, 6) |
| I ve II | Hayır | Çelişki |
| I ve III | Hayır | Çelişki |
| I, II ve III | Hayır | Çelişki |
Sorunun cevabı:
Begüm, Emel’in hangi kartları çektiğini kesinlikle bulabilmesi için yalnızca I, II veya III ifadelerinden birini duymalıdır.
Ancak seçeneklerde yalnız III yok, sadece I, II, I ve II, I ve III, I, II ve III var.
Bu durumda, sadece I ve II ifadelerinden biri söylendiğinde Begüm kesin kartları bulabilir.
Sonuç:
- I ve II ifadeleri birlikte söylendiğinde kesin bulunamaz.
- Yalnız I veya yalnız II söylendiğinde kesin bulunabilir.
Seçeneklerde yalnız I veya yalnız II var, ama hangisi kesinlik sağlar?
- Yalnız I: (1,3,8) kesin
- Yalnız II: (3,4,5) kesin
Her ikisi de kesin.
Ama soruda “hangi ifadeleri söylediğinde Begüm kesinlikle Emel’in hangi kartları çektiğini bulabilir?” deniyor.
Seçeneklerde “I ve II” birlikte var, ama bu birlikte söylendiğinde çelişki var.
Bu nedenle doğru cevap C) I ve II olamaz.
Doğru cevap:
A) Yalnız I
Çünkü:
- I ifadesi söylendiğinde kartlar (1,3,8) kesin bulunur.
- II ifadesi söylendiğinde kartlar (3,4,5) kesin bulunur.
- Ancak soruda “Begüm kesinlikle Emel’in hangi kartları çektiğini bulabilir” diyor.
- I ifadesi, 8 sayısını içerdiği için diğer kombinasyonlardan ayırt edilebilir.
- II ifadesi ise ardışık doğal sayılar, ama toplam 12 olan ardışık doğal sayılar sadece (3,4,5) olduğu için kesin.
- III ifadesi ise ardışık çift sayılar, (2,4,6) kesin.
Ama seçeneklerde yalnız III yok.
Bu durumda en net ve kesin bilgi I ifadesidir.
Özet Tablosu
| İfade | Kartlar | Kesinlik | Açıklama |
|---|---|---|---|
| I | (1, 3, 8) | Kesin | 8 sayısı sadece bu kombinasyonda |
| II | (3, 4, 5) | Kesin | Ardışık doğal sayılar sadece bu |
| III | (2, 4, 6) | Kesin | Ardışık çift sayılar sadece bu |
| I ve II | - | Hayır | Çelişki var |
| I ve III | - | Hayır | Çelişki var |
| I, II ve III | - | Hayır | Çelişki var |
Sonuç:
Begüm, Emel’in hangi kartları çektiğini kesinlikle bulabilmesi için Emel’in yalnızca I ifadesini söylemesi yeterlidir.
Doğru cevap: A) Yalnız I
**Soru: 1’den 9’a kadar numaralanmış 9 kart bir torbaya atılıyor. Emel bu torbadan üç kart çekiyor. Begüm, Emel’e hangi kartları çektiğini sorduğunda şu konuşma geçiyor:
Emel: “Çektiğim kartların üzerindeki sayıların toplamı 12’dir.”
Begüm: “Çektiğin kartları tahmin etmeme yardımcı olacak bir bilgi daha verebilir misiniz?”
Buna göre Emel’in söyleyebileceği aşağıdaki ek bilgilerden hangilerini dediğinde Begüm kesinlikle Emel’in hangi kartları çektiğini bulabilir?
I. Kartlardan birinin üzerindeki sayı 8’dir.
II. Kartların üzerindeki sayılar ardışık doğal sayılardır.
III. Kartların üzerindeki sayılar ardışık çift doğal sayılardır.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
Table of Contents
- Toplamı 12 Olan Kart Üçlülerinin Belirlenmesi
- Ek Bilgi I: “Bir Kart 8” Bilgisi
- Ek Bilgi II: “Ardışık Doğal Sayılar” Bilgisi
- Ek Bilgi III: “Ardışık Çift Sayılar” Bilgisi
- Sonuç ve Doğru Seçenek
- Özet Tablo
1. Toplamı 12 Olan Kart Üçlülerinin Belirlenmesi
1’den 9’a kadar sayılar arasından 3 farklı kart seçildiğinde toplamının 12 olduğu tüm kombinasyonları listeleyelim:
Tüm olası üçlüler ve toplamları:
| Üçlü | Toplam |
|---|---|
| 1, 2, 9 | 1 + 2 + 9 = 12 |
| 1, 3, 8 | 1 + 3 + 8 = 12 |
| 1, 4, 7 | 1 + 4 + 7 = 12 |
| 1, 5, 6 | 1 + 5 + 6 = 12 |
| 2, 3, 7 | 2 + 3 + 7 = 12 |
| 2, 4, 6 | 2 + 4 + 6 = 12 |
| 3, 4, 5 | 3 + 4 + 5 = 12 |
Toplam 7 farklı üçlü mevcut. Begüm, yalnız “toplam 12” bilgisinden bu 7 üçlüden hangisini seçtiğini bilemez.
2. Ek Bilgi I: “Kartlardan biri 8’dir.”
Bu bilgiyi kullanınca elimizdeki 7 üçlüden içinde 8 bulunan tek üçlüyi seçeriz:
| Üçlü | İçinde 8 var mı? |
|---|---|
| 1, 2, 9 | Hayır |
| 1, 3, 8 | Evet |
| 1, 4, 7 | Hayır |
| 1, 5, 6 | Hayır |
| 2, 3, 7 | Hayır |
| 2, 4, 6 | Hayır |
| 3, 4, 5 | Hayır |
Bu durumda sadece [1, 3, 8] elde kalır. Yani I. bilgi tek başına yeterlidir ve Begüm kesin olarak 1, 3 ve 8 kartlarını bilir.
3. Ek Bilgi II: “Kartların sayıları ardışık doğal sayılardır.”
“Ardışık doğal sayılar” üçerli dizileri inceleyelim:
- [1, 2, 3] toplam 6
- [2, 3, 4] toplam 9
- [3, 4, 5] toplam 12
- [4, 5, 6] toplam 15
- …
Toplamı 12 olan tek ardışık üçlü [3, 4, 5]’tir. Diğer herhangi bir ardışık üçlü toplamı 12 vermez. Dolayısıyla II. bilgi de tek başına Begüm’e kartları kesin olarak söyler: 3, 4 ve 5.
4. Ek Bilgi III: “Kartların sayıları ardışık çift doğal sayılardır.”
Çift sayılar kümesi içinde ardışık üçlüleri inceleyelim:
- [2, 4, 6] toplam 2 + 4 + 6 = 12
- [4, 6, 8] toplam 4 + 6 + 8 = 18
- diğeri toplam ≠12
Toplamı 12 veren tek ardışık çift üçlü [2, 4, 6] olduğu için III. bilgi de tek başına Begüm’ü 2, 4 ve 6 kartlarına götürür.
5. Sonuç ve Doğru Seçenek
- I. bilgi → [1, 3, 8]
- II. bilgi → [3, 4, 5]
- III. bilgi → [2, 4, 6]
Her biri kendi içinde eşsiz bir üçlüyü gösteriyor. Dolayısıyla Begüm, Emel’in hangi kartları çektiğini kesinlikle öğrenmek için I, II veya III bilgilerini tek başına duyduğunda yeterli bilgiye sahip olur.
Doğru cevap: E) I, II ve III
6. Özet Tablo
| Ek Bilgi | Uygun Üçlü | Başka Üçlü Var mı? | Kesin Belirler mi? |
|---|---|---|---|
| I. “Bir kart 8’dir.” | [1, 3, 8] | Hayır | Evet |
| II. “Ardışık sayılar.” | [3, 4, 5] | Hayır | Evet |
| III. “Ard. çift sayılar” | [2, 4, 6] | Hayır | Evet |
Özet: Emel ne bilgi verirse versin (I, II veya III), Begüm tek bir olası kombinasyona ulaşır ve kartları kesin bilir.