1. Bölüm: Doğrunun Analitik Incelenmesi Sila X ETKİNLI Yukarndaki modelde dik koordinat sistemi verilmiştir. Bu model- de Sila'nin bulunduğu noktanın eksenlere olan uzakliklarn topla- mi 290 birim, koordinatları toplamı -130 dur. Buna göre Sila'nın b

YKS TYT
1
  1. Bölüm: Doğrunun Analitik Incelenmesi Sila X ETKİNLI Yukarndaki modelde dik koordinat sistemi verilmiştir. Bu model- de Sila’nin bulunduğu noktanın eksenlere olan uzakliklarn topla- mi 290 birim, koordinatları toplamı -130 dur. Buna göre Sila’nın bulunduğu noktanın apsisini bulunuz.

coz

Resim
Resim813×1080 92.1 KB

2

:pushpin: SORU: Sıla’nın bulunduğu noktada eksenlere olan uzaklıkların toplamı 290 birim, koordinatların toplamı -130 ise bu noktanın apsisi (x koordinatı) kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Noktanın koordinatları (x, y) olsun.
  • Koordinatların toplamı: x + y = -130
  • Eksenlere olan uzaklıkların toplamı: |x| + |y| = 290

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklem sistemini kur

\begin{cases} x + y = -130 \\ |x| + |y| = 290 \end{cases}

Adım 2 — Olası durumları değerlendir

  • x ve y aynı işaretli olamaz çünkü toplamları negatif, ama mutlak değerlerinin toplamı çok büyük.

Adım 3 — İşaret durumlarına bak

  • Durum 1: x \leq 0, y \leq 0
    Mutlak değerler pozitif olduğundan:
    |x| = -x, |y| = -y
    Toplam: -x - y = 290
    İlk denklemden x + y = -130
    İki denklemi toplarsak:
    (-x - y) + (x + y) = 290 + (-130) \Rightarrow 0 = 160 (çelişki)
    Bu durum mümkün değil.

  • Durum 2: x \leq 0, y \geq 0
    |x| = -x, |y| = y
    Toplam: -x + y = 290
    İlk denklem: x + y = -130

    Bu iki denklemi toplayalım:

    (-x + y) + (x + y) = 290 + (-130) \Rightarrow 2y = 160 \Rightarrow y = 80

    İlk denklemden:

    x + 80 = -130 \Rightarrow x = -210

Adım 4 — Sonuç kontrolü

  • x = -210, y = 80
  • Koordinatların toplamı: -210 + 80 = -130 doğru
  • Mutlak değerlerin toplamı: |-210| + |80| = 210 + 80 = 290 doğru

Bu durumda apsis = x = -210

:white_check_mark: CEVAP: \boxed{-210}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

:pushpin: SORU: Sıla’nın bulunduğu noktanın eksenlere olan uzaklıkları toplamı |x| + |y| = 290 birim ve koordinatları toplamı x + y = -130 ise Sıla’nın apsisini (x koordinatını) bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Mutlak değer tanımı: |a| = a ise a ≥ 0, |a| = −a ise a < 0
  • Denklem sistemi: |x|+|y|=290,\quad x+y=-130

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İşaret durumlarını belirle

  • Noktaların işaretlerine göre dört durum incelenir: (i) x\ge0,y\ge0, (ii) x\ge0,y<0, (iii) x<0,y\ge0, (iv) x<0,y<0.

Adım 2 — Durum (i): x\ge0,y\ge0

  • Bu durumda |x|+|y|=x+y .
  • Denklemler: x+y=290 ve x+y=-130.
  • Çelişki: 290=-130 mümkün değil. Bu durum yok.

Adım 3 — Durum (ii): x\ge0,y<0

  • Bu durumda |x|+|y|=x- y .
  • Denklemler: x- y=290 ve x+y=-130.
  • Toplayalım: (x- y)+(x+y)=290+(-130) ⇒ 2x=160.
  • 2x=160 ⇒ x=80.
  • x+y=-130 ⇒ 80+y=-130 ⇒ y=-210.
  • İşaret kontrolü: x=80\ge0, y=-210<0 — uygun. Çözüm adayı: (x,y)=(80,-210).

Adım 4 — Durum (iii): x<0,y\ge0

  • Bu durumda |x|+|y|=-x+ y .
  • Denklemler: -x+ y=290 ve x+y=-130.
  • Bu iki denklemi çıkaralım: (-x+ y)-(x+y)=290-(-130) ⇒ -2x=420.
  • -2x=420 ⇒ x=-210.
  • x+y=-130 ⇒ -210+y=-130 ⇒ y=80.
  • İşaret kontrolü: x=-210<0, y=80\ge0 — uygun. Çözüm adayı: (x,y)=(-210,80).

Adım 5 — Durum (iv): x<0,y<0

  • Bu durumda |x|+|y|=-x- y .
  • Denklemler: -x- y=290 ve x+y=-130.
  • İlk denklem sağ tarafı 290, ikinci denklemden -x- y=130. Çelişki: 130\neq290. Bu durum yok.

Adım 6 — Geometrik yer ile uygun olan çözümü seç

  • Matematiksel olarak iki uygun nokta bulundu: (80,-210) ve (-210,80).
  • Verilen model (şekil) Sıla’nın y ekseninin solunda ve x ekseninin üzerinde olduğunu gösteriyor (x negatif, y pozitif).
  • Bu yüzden şekle uygun olan nokta (-210,\,80) olmalıdır.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Mutlak değer
  • Tanım: Bir sayının işaretten bağımsız büyüklüğü.
  • Bu problemde: Eksenlere olan uzaklıklar mutlak değer ile verildi: |x| ve |y|.
  1. Denklem sistemi çözümü
  • Tanım: Eşzamanlı iki denklemin ortak çözümlerini bulma yöntemi.
  • Bu problemde: İşaret durumlarına göre parçalara ayırarak çözdük.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşareti göz ardı etmek

  • Yanlış: Doğrudan |x| = x gibi alıp tüm çözümleri kabul etmek.
  • Doğru: Mutlak değerin işaretine göre ayrı durumlar değerlendirilmelidir.
  • Neden yanlış: Mutlak değer negatif sayı için işareti değiştirir.
  • Düzeltme: Her durum için işaret koşullarını kontrol et ve elde edilen x,y değerlerinin bu koşulları sağlamasını doğrula.

:white_check_mark: CEVAP: Sıla’nın apsisi \boxed{-210}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: