1 252 110 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi basamaklı kaç tek sayı yazılabileceğini bulunuz.
Soru: 1 252 110 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi basamaklı kaç tek sayı yazılabileceğini bulunuz?
Cevap:
Merhaba @Dersnotu! Bu soru, bir matematik problemi ve 10. sınıf seviyesinde. 1.252.110 sayısının rakamlarını kullanarak yedi basamaklı tek (odd) sayılar oluşturmayı ve bu sayının kaç tane olabileceğini bulmayı gerektiriyor. Tek bir sayı olabilmesi için son basamağın tek olması şartı var (yani son basamak 1 veya 5 olabilir). Ayrıca, yedi basamaklı bir sayı olduğu için ilk basamak 0 olamaz. Bu problemi adım adım çözeceğim, böylece her şey net olsun.
Öncelikle, sayının rakamlarını inceleyelim: 1, 2, 5, 2, 1, 1, 0. Yani, toplam yedi rakam var ve tekrar eden rakamlar şöyle:
- 1: 3 kez
- 2: 2 kez
- 5: 1 kez
- 0: 1 kez
Bu rakamların permütasyonlarını (yerlerini değiştirerek düzenlemelerini) hesaplayacağız, ama kısıtlamalarımız var: son basamak tek olmalı ve ilk basamak 0 olmamalı. Tek basamaklı rakamlar 1 ve 5, yani son basamak ya 1 ya da 5 olabilir. Bu iki durumu ayrı ayrı ele alacağız.
İçindekiler
1. Giriş ve Temel Kavramlar
Bu problem, çoklu küme permütasyonları ile ilgili. Bir kümenin permütasyon sayısı, tekrar eden elemanlar varsa, şu formülle hesaplanır:
\text{Permütasyon sayısı} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}
Burada, n toplam eleman sayısı, n_1, n_2, \ldots, n_k ise tekrar eden elemanların frekanslarıdır.
Bu durumda:
- Toplam rakam sayısı n = 7.
- Tekrar frekansları: 1 için 3!, 2 için 2!, 5 ve 0 için 1!.
Ancak, son basamak tek olmalı (1 veya 5) ve ilk basamak 0 olmamalı. Bu yüzden, son basamağı sabitleyerek iki ayrı durum inceleyeceğiz ve her durumda ilk basamağın 0 olmaması koşulunu sağlayacağız.
2. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Son Basamağın Tek Olması Koşulu
Tek basamaklı rakamlar: 1 ve 5. Yani, iki olası durum var:
- Durum 1: Son basamak 1.
- Durum 2: Son basamak 5.
Her durumda, kalan altı rakamı düzenlerken ilk basamağın 0 olmaması gerektiğini göz önünde bulunduracağız.
Durum 1: Son Basamak 1
- Son basamağı 1 olarak sabitlediğimizde, bir 1’i kullandığımız için kalan rakamlar: iki 1, iki 2, bir 5, bir 0.
- Kalan altı rakamı düzenleme sayısı (tekrarları dikkate alarak):
\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{720}{4} = 180
- Bu, ilk basamağın 0 olabileceği durumları da içeriyor. Şimdi, ilk basamak 0 olan durumları çıkaralım.
- İlk basamağı 0 olarak sabitlediğimizde (son basamak zaten 1), kalan beş rakam: iki 1, iki 2, bir 5.
- Bu düzenleme sayısı:
\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \times 2 \times 1} = \frac{120}{4} = 30
- Yani, ilk basamak 0 olan geçersiz durumlar 30 tane. Bu yüzden, geçerli durumlar:
180 - 30 = 150
Durum 2: Son Basamak 5
- Son basamağı 5 olarak sabitlediğimizde, kalan rakamlar: üç 1, iki 2, bir 0.
- Kalan altı rakamı düzenleme sayısı:
\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60
- Yine, ilk basamak 0 olan durumları çıkaralım.
- İlk basamağı 0 olarak sabitlediğimizde (son basamak 5), kalan beş rakam: üç 1, iki 2.
- Bu düzenleme sayısı:
\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10
- Yani, ilk basamak 0 olan geçersiz durumlar 10 tane. Bu yüzden, geçerli durumlar:
60 - 10 = 50
Adım 2: Toplam Tek Sayı Sayısını Bulma
- Durum 1’den (son basamak 1) 150 geçerli sayı var.
- Durum 2’den (son basamak 5) 50 geçerli sayı var.
- Toplam yedi basamaklı tek sayı:
150 + 50 = 200
Bu hesaplamalar, rakamların tekrarlarını ve kısıtlamaları doğru bir şekilde dikkate alarak yapılmıştır. Sonuç 200’tür.
3. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, her durumu özetlemektedir:
| Durum | Son Basamak | Toplam Düzenleme (İlk Basamak Kısıtı Olmadan) | İlk Basamak 0 Olan Geçersiz Sayı | Geçerli Sayı |
|---|---|---|---|---|
| Durum 1 | 1 | 180 | 30 | 150 |
| Durum 2 | 5 | 60 | 10 | 50 |
| Toplam | - | - | - | 200 |
4. Sonuç ve Özet
Sonuç olarak, 1.252.110 sayısının rakamlarını kullanarak oluşturulabilecek yedi basamaklı tek sayıların sayısı 200’tür. Bu, son basamağın tek olması (1 veya 5) ve ilk basamağın 0 olmaması koşullarını sağlayan tüm permütasyonları kapsar.
Özet: Bu problemde, çoklu küme permütasyonlarını ve kısıtlamaları ele aldık. Son basamak 1 olduğunda 150, son basamak 5 olduğunda 50 geçerli sayı elde ettik, toplamda 200’e ulaştık. Bu yaklaşım, matematikte permütasyon problemlerini çözmek için güvenilir bir yöntemdir.
Eğer bu konuyu daha fazla derinleştirmek istersen veya başka bir soru sorarsan, her zaman yardımcı olurum! 