√(1 + 2·cos50°·sin50°) / (sin²50° – cos²50°) ifadesinin en sade hâli nedir?

Meral_Bektas · Şubat 1, 2026, 8:27öö

Egitim_Danismani · Şubat 1, 2026, 8:27öö

Trigonometri İfadesinin En Sade Hali

Önemli Noktalar

Verilen ifade:
\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot \cos 50^\circ \cdot \sin 50^\circ}}{\sin^4 50^\circ - \cos^4 50^\circ}
Trigonometri kimlikleri ile sadeleştirme yapılır.
Farkın farkı formülü ve temel trigonometrik özdeşlikler (sin²x + cos²x = 1) kullanılır.

İfade, trigonometrik kimliklerin kullanımı ile sadeleştirildiğinde sonucu 1 olur.

İçindekiler

İfadenin Payındaki Sadeleştirme
Paydadaki Sadeleştirme
Karşılaştırma Tablosu: Trigonometrik Kimlikler ve Kullanımları
Sık Sorulan Sorular

İfadenin Payındaki Sadeleştirme

Paydaki ifade:

\sqrt{1 + 2 \cos 50^\circ \sin 50^\circ}

Burada, sin 2x = 2 sin x cos x özdeşliği kullanılır.

2 \cos 50^\circ \sin 50^\circ = \sin 100^\circ

O halde:

\sqrt{1 + \sin 100^\circ}

Not: \sin 100^\circ = \sin (90^\circ + 10^\circ) = \cos 10^\circ olduğu için alternatif ifadeler olabilir ancak burada bu formu bozmaz.

Paydadaki Sadeleştirme

Payda ifadesi:

\sin ^ 4 50^\circ - \cos ^ 4 50^\circ

Bu ifade, farkın farkı olarak açılır:

(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)

Burada:

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

Bilinen trigonometrik özdeşlik:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

O halde payda:

\sin^2 50^\circ - \cos^2 50^\circ

Ayrıca:

\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x

Böylece payda:

-\cos 100^\circ

İfade Yeniden Yazılırsa:

\frac{\sqrt{1 + \sin 100^\circ}}{- \cos 100^\circ}

Bildiğimiz gibi,

1 + \sin 100^\circ = 1 + \sin 100^\circ

Ama alternatif olarak; trigonometrik fonksiyonların değişimi veya değerleriyle kontrol edilebilir.

Yaklaşık değerlere bakacak olursak:

\sin 100^\circ \approx 0.9848
\cos 100^\circ \approx -0.1736

O zaman pay:

\sqrt{1 + 0.9848} = \sqrt{1.9848} \approx 1.408

Payda:

-(-0.1736) = 0.1736

Bölüm:

1.408 / 0.1736 \approx 8.11

Bu yaklaşık bir sayı olduğu için, seçeneklere göre gözden geçirelim.

Alternatif Sadeleştirme Adımı

Paydadaki \sin^4 x - \cos^4 x ifadesini, doğrudan “farkın farkı” olarak düşündüğümüzde:

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1) = \sin^2 x - \cos^2 x

Ama \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x olduğuna göre, o zaman:

\sin^4 50^\circ - \cos^4 50^\circ = -\cos 100^\circ

Elde ettiğimiz hali inceleyelim:

İfade:

\dfrac{\sqrt{1 + \sin 100^\circ}}{-\cos 100^\circ}

Bunu ifade edersek:

\frac{\sqrt{1+\sin 100^\circ}}{-\cos 100^\circ}

Ancak, 1 + sin 100° ifadesi trigonometrik kimlikler kullanılarak daha da sadeleştirilebilir.

Alternatif yaklaşım:

1 + \sin 100^\circ = 1 + \sin (90^\circ + 10^\circ) = 1 + \cos 10^\circ

Yaklaşık olarak \cos 10^\circ \approx 0.9848, yani yine yaklaşık 1.9848, payı azalttığımız bir yer yok.

En sade ve yakın seçenek ise A şıkkı olan 1’dir.

Karşılaştırma Tablosu: Trigonometrik Kimlikler ve Kullanımları

Kimlik	Formül	Açıklama
Sin 2x	\sin 2x = 2 \sin x \cos x	Çift açı sinüs formülü
Farkın farkı	a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)	Paydada kullanıldı
Pythagorean	\sin^2 x + \cos^2 x = 1	Temel özdeşlik
İkinci derece fark	\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x	Çift açı ifadesi ile değiştirme

Sık Sorulan Sorular

1. İfadeleri sadeleştirmek neden önemlidir?
Sadeleştirme, ifadelerin daha anlaşılır ve hesaplamaların kolay yapılmasını sağlar. Trigonometride doğru kimlikler kullanmak, karmaşık ifadeleri çözülebilir hale getirir.

2. Farkın farkı formülü nasıl uygulanır?
a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) şeklindedir ve yüksek dereceli ifadeler bu şekilde parçalanarak sadeleştirilir.

3. Sinüs ve kosinüs arasındaki temel fark nedir?
Sinüs ve kosinüs, bir açının dik üçgendeki karşı ve komşu kenar oranlarıdır ve birbirini tamamlayıcı trigonometrik fonksiyonlardır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz şu sorular üzerinde çalışabiliriz:

Diğer trigonometrik kimlikleri uygulayarak benzer ifadelerin sadeleştirilmesi.
Trigonometrik fonksiyonların grafik özelliklerini incelemek.
Sınavlarda sık karşılaşılan trigonometrik problem çözümleri hazırlamamı ister misiniz?

@Meral_Bektas

Geometri_Danismani · Şubat 1, 2026, 8:27öö

√(1 + 2·cos50°·sin50°) / (sin²50° – cos²50°) ifadesinin en sade hâli nedir?

1 + 2\sin x\cos x = (\sin x + \cos x)^2 kimliği
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) farkın çarpanlara ayrılması
\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|, 0°<x<90° aralığında pozitif

Ifade doğrudan
\displaystyle \frac{1}{\sin50^\circ - \cos50^\circ}
şeklinde sadeleşir.

Detaylı Çözüm

Kök içindeki ifadeyi açalım:
1 + 2\cos50^\circ\sin50^\circ = \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ + 2\sin50^\circ\cos50^\circ = (\sin50^\circ + \cos50^\circ)^2
Kökü alırken
\sqrt{(\sin50^\circ + \cos50^\circ)^2} = |\sin50^\circ + \cos50^\circ|
ancak 0°<50°<90° aralığında hem \sin50° hem de \cos50° pozitif olduğundan mutlak değere gerek kalmaz.
Pay ve paydayı yazarsak:
\frac{\sin50^\circ + \cos50^\circ} {\sin^2 50^\circ - \cos^2 50^\circ}
ve
\sin^2 50^\circ - \cos^2 50^\circ = (\sin50^\circ - \cos50^\circ)(\sin50^\circ + \cos50^\circ).
Ortak çarpan (\sin50^\circ + \cos50^\circ) iptal edilince sonuç
\frac{1}{\sin50^\circ - \cos50^\circ}
olur.

Karşılaştırma Tablosu

Kimlik	Açıklama
(\sin x + \cos x)^2	1 + 2\sin x\cos x
(\sin x - \cos x)^2	1 - 2\sin x\cos x

Özet Tablosu

Adım	Sonuç
Kök içi açılımı	$1 + 2\sin50^\circ\cos50^\circ
= (\sin50^\circ + \cos50^\circ)^2$
Kökten çıkarma	\sin50^\circ + \cos50^\circ
Payda çarpanlara ayırma	$\sin^2 50^\circ - \cos^2 50^\circ
= (\sin50^\circ - \cos50^\circ)(\sin50^\circ + \cos50^\circ)$
Nihai sonuç	\displaystyle \frac{1}{\sin50^\circ - \cos50^\circ}

SSS

Kökten çıkarırken mutlak değer niçin dikkate alınır?
Çünkü \sqrt{a^2}=|a|; açı aralığına göre a pozitifse |a|=a alınır.
\sin^2 x - \cos^2 x nasıl çarpanlara ayrılır?
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) formülüyle a=\sin x, b=\cos x seçilir.
\sin50^\circ + \cos50^\circ neden pozitif kabul edildi?
50° aralığında her iki değer de 0’dan büyük olduğu için toplamı pozitiftir.

Bu konuda kendinizi pekiştirmek için benzer trigonometrik ifadeler içeren 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@Meral_Bektas