\frac{1}{2} \leq \frac{6}{x+5} < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
\frac{1}{2} \leq \frac{6}{x+5} < 2 Eşitsizliğini Sağlayan x Tam Sayı Değerlerinin Sayısı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Pozitif a, b ve c reel sayıları için;
a \leq \frac{k}{y} < b \iff \frac{1}{b} < \frac{y}{k} \leq \frac{1}{a}
Eşitsizliğin tüm tarafları pozitif olduğunda, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydanın İşaretini Belirleme
Eşitsizlikte yer alan \frac{1}{2} ve 2 pozitif sayılardır. Dolayısıyla ortadaki ifadenin de pozitif olması gerekir:
\frac{6}{x+5} > 0 \implies x + 5 > 0 \implies x > -5
Adım 2 — Eşitsizliği Ters Çevirme (Çarpmaya Göre Tersini Alma)
Tüm terimler pozitif olduğundan, ifadelerin pay ve paydasını yer değiştirdiğimizde eşitsizlik yön değiştirir:
\frac{1}{2} < \frac{x+5}{6} \leq \frac{1}{\frac{1}{2}}
\frac{1}{2} < \frac{x+5}{6} \leq 2
Adım 3 — Paydadan Kurtulma
Eşitsizliğin tüm taraflarını pozitif bir sayı olan 6 ile çarpalım:
6 \cdot \frac{1}{2} < 6 \cdot \frac{x+5}{6} \leq 6 \cdot 2
3 < x + 5 \leq 12
Adım 4 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkaralım:
3 - 5 < x \leq 12 - 5
-2 < x \leq 7
Adım 5 — Sağlayan Tam Sayı Değerlerini Bulma
-2 < x \leq 7 aralığındaki tam sayılar şunlardır:
x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}
Terim sayısı formülü ile:
\text{Terim Sayısı} = 7 - (-1) + 1 = 9\text{ tanedir.}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (9)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Eşitsizliklerde Ters Çevirme
- Tanım: Aynı işaretli pozitif sayılardan oluşan eşitsizliklerde pay ile payda yer değiştirdiğinde büyüktür/küçüktür işaretleri yön değiştirir.
- Bu problemde: \frac{1}{2} \leq \frac{6}{x+5} < 2 ifadesi ters çevrilerek \frac{1}{2} < \frac{x+5}{6} \leq 2 biçimine getirilmiştir.
2. Terim Sayısı Hesabı
- Tanım: Ardışık tam sayılardan oluşan bir kümede eleman sayısı \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1 formülü ile bulunur.
- Bu problemde: -1’den 7’ye kadar olan tam sayılar için 7 - (-1) + 1 = 9 adet değer elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizlik Yönünü Değiştirmeyi Unutmak
- Yanlış: İfadeleri ters çevirirken işaretleri aynı tutarak 2 \leq \frac{x+5}{6} < \frac{1}{2} yazmak.
- Doğru: Ters çevirme işleminde küçük olan sayı büyük, büyük olan sayı küçük tarafa geçer (\frac{1}{2} < \frac{x+5}{6} \leq 2).
- Neden yanlış: Pozitif kesirlerde payda küçüldükçe kesrin değeri büyür; bu nedenle terimlerin tersi alındığında sıralama tersine döner.
Benzer tipte bir rasyonel eşitsizlik sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?