0SYI] KÖŞESİ 9.A, B ve C sifırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; iki basamaklı AB doğal sayısı ile iki

YKS TYT
1

A slk
0SYI] KÖŞESİ
9.A, B ve C sifırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak
üzere; iki basamaklı AB doğal sayısı ile iki basamaklı
BC doğal sayısınin toplamı, iki basamaklı CA doğal
sayısının 1 eksiğine eşittir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan A, B ve C
rakamlarıyla yazilabilecek kaç farklı üç basamaklı
ABC doğal sayısı vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
TYT- 2023

A slk 0SYI KÖŞESİ 9.A, B ve C sifırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; iki...
A slk 0SYI KÖŞESİ 9.A, B ve C sifırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; iki...1024×768 115 KB

2

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve ABC Sayısının Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İki basamaklı bir doğal sayının basamak çözümlemesi:
    XY = 10X + Y
  • Rakamlar kümesi: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} (A, B, C \neq 0 ve A \neq B \neq C)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Eşitliği Basamak Değerlerine Göre Çözümleme
Soruda verilen eşitlik:

AB + BC = CA - 1

İki basamaklı sayıları onluk tabanda açalım:

(10A + B) + (10B + C) = (10C + A) - 1

Sol tarafı düzenleyelim:

10A + 11B + C = 10C + A - 1

Adım 2 — Denklemi Düzenleme ve Değişkenleri Gruplama
A ve C terimlerini eşitliğin bir tarafına, B’li terimi diğer tarafına toplayalım:

10A - A + 11B + 1 = 10C - C
9A + 11B + 1 = 9C
9C - 9A = 11B + 1
9(C - A) = 11B + 1

Adım 3 — B Rakamının Değerini Belirleme
Eşitliğin sol tarafı 9’un tam katı olduğundan, sağ taraftaki 11B + 1 ifadesi de 9’a tam bölünmelidir.
B \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} değerlerini inceleyelim:

  • B = 1 \implies 11(1) + 1 = 12 (9’a bölünmez)
  • B = 2 \implies 11(2) + 1 = 23 (9’a bölünmez)
  • B = 3 \implies 11(3) + 1 = 34 (9’a bölünmez)
  • B = 4 \implies 11(4) + 1 = 45 (9’a tam bölünür: 45 = 9 \times 5)
  • B = 5 \implies 11(5) + 1 = 56 (9’a bölünmez)
  • B = 6 \implies 11(6) + 1 = 67 (9’a bölünmez)
  • B = 7 \implies 11(7) + 1 = 78 (9’a bölünmez)
  • B = 8 \implies 11(8) + 1 = 89 (9’a bölünmez)
  • B = 9 \implies 11(9) + 1 = 100 (9’a bölünmez)

Buradan tek uygun değer B = 4 olarak bulunur.

Adım 4 — A ve C Rakamlarını Bulma
B = 4 değerini yerine yazalım:

9(C - A) = 45 \implies C - A = 5 \implies C = A + 5

A, B, C rakamlarının sıfırdan ve birbirinden farklı olma koşulunu test edelim (B = 4):

  • A = 1 \implies C = 6 \implies (A, B, C) = (1, 4, 6) \implies ABC = 146 (Sağlar)
  • A = 2 \implies C = 7 \implies (A, B, C) = (2, 4, 7) \implies ABC = 247 (Sağlar)
  • A = 3 \implies C = 8 \implies (A, B, C) = (3, 4, 8) \implies ABC = 348 (Sağlar)
  • A = 4 \implies C = 9 \implies A = B = 4 olduğu için sağlamaz (rakamlar birbirinden farklı olmalıdır).
  • A \ge 5 için C \ge 10 olur ki C bir rakam olamaz.

Bu koşulları sağlayan 3 farklı ABC doğal sayısı yazılabilir (146, 247, 348).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Basamak Çözümlemesi

  • Tanım: Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır (AB = 10A + B).
  • Bu problemde: İki basamaklı sayıları 10 ve 1 katsayılarıyla açarak cebirsel sadeleştirme sağlandı.

2. Bölünebilme ve Katsayı Dengesi

  • Tanım: 9(C - A) ifadesinin 9’un katı olması kuralıdır.
  • Bu problemde: 11B + 1 ifadesinin 9’un katı olması zorunluluğu B’nin tek bir değer almasını sağladı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Rakamların Birbirinden Farklı Olma Şartını Unutmak

  • Yanlış: A = 4 ve C = 9 çiftini de alarak toplamda 4 adet sayı bulmak.
  • Doğru: B = 4 olduğundan A = 4 seçilemez; bu durum elenmelidir.
  • Neden yanlış: Sorunun kökünde A, B ve C’nin “birbirinden farklı” olduğu açıkça belirtilmiştir.

Benzer bir basamak kavramı veya bölünebilme sorusuyla pekiştirme yapmak ister misin?