0^irc < x < 90^irc ve \sin x < os x olmak üzere,
\sqrt{1 - 2 \sin x dot os x} = a dot \sin x - b os x
eşitliği veriliyor.
a ve b gerçek sayı olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
Trigonometrik İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Mutlak Değer
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1
- \sqrt{u^2} = |u|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Karekök İçindeki İfadeyi Tam Kare Biçiminde Yazma
Trigonometrinin temel özdeşliği olan 1 = \sin^2 x + \cos^2 x eşitliğini karekök içerisindeki 1 yerine yazalım:
\sqrt{1 - 2\sin x \cdot \cos x} = \sqrt{\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}
Bu ifade bir tam kare açılımıdır:
\sqrt{(\sin x - \cos x)^2}
Adım 2 — Mutlak Değer Kuralını Uygulama ve İşareti Belirleme
Çift dereceli kök dışına ifade mutlak değer içinde çıkar:
\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
Soruda \sin x < \cos x olarak verilmiştir. Bu eşitsizliği düzenlersek:
\sin x - \cos x < 0
İçerideki ifade negatif olduğundan mutlak değerin dışına önüne eksi (-) işareti alarak çıkar:
|\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = -\sin x + \cos x
Adım 3 — Katsayıları Eşitleyerek a ve b Değerlerini Bulma
Bulduğumuz sonucu eşitliğin sağ tarafına eşitleyelim:
-\sin x + \cos x = a \cdot \sin x - b \cdot \cos x
\sin x ve \cos x’li terimlerin katsayılarını karşılıklı olarak eşitlediğimizde:
- \sin x’in katsayısı: a = -1
- \cos x’in katsayısı: -b = 1 \implies b = -1
Buradan a + b toplamı:
a + b = (-1) + (-1) = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Mutlak Değer Dışına Çıkarma: \sqrt{A^2} = |A| kuralında, A < 0 ise kök dışına -A olarak çıkar; çünkü bir reel karekökün sonucu asla negatif olamaz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} ifadesini mutlak değere almadan doğrudan \sin x - \cos x olarak çıkarmak ve buradan a=1, b=1 \implies a+b=2 bulmak.- Doğru Yaklaşım: Çift dereceli kökten çıkan terimlerin mutlaka mutlak değer içine alınması ve tanım aralığındaki işaretine göre incelenmesi gerekir.
Bu konuyla ilgili pekiştirme amacıyla benzer bir trigonometrik sadeleştirme sorusu çözmek ister misin?