Sorunun Çözümü:
Soruyu Anlama:
- Kolinin özellikleri: Uzunluğu her bir kenarı 16 cm olan bir küp şeklidir ve üst yüzü çıkarılmıştır.
- 4 adet dikdörtgen prizmadan oluşan süngerler: Bu süngerler kolinin içine yerleştirilecektir.
- Boyanacak alan: Süngerler yerleştirildikten sonra içeride açıkta kalan yüzeyler boyanacak.
- Hedef: Süngerlerden bir tanesinin yüzey alanını hesaplamak.
Problemin Analizi:
- Boyanacak alan: Kolinin içindeki boyanabilir 724 cm² en küçük alan verilmiştir.
- Süngerlerden birinin yüzey alanını bulmak için süngerlerin yapısını anlamamız gerekiyor. Süngerler birbirine eş olduğu için sadece biri üzerinden işlem yapmak yeterlidir.
Süngerlerin Alanını Hesaplama:
Kolinin Toplam Yüzey Alanı
Bir küpün toplam yüzey alanı:
Kolinin üst yüzü çıkarıldığında kalan toplam yüzey alan:
İçeride Sünger Yerleştirildikten Sonra:
Boyasız alanın büyüklüğü:
Bu, süngerlerin kapladığı alanın toplamıdır.
4 Sünger Eşit ve Dikdörtgen Prizma Şeklinde:
Her sünger için:
Doğru Cevap:
Bu şekilde süngerlerden birinin yüzey alanı kesin olarak 139 cm² olacaktır.
Cevap: A) 139
@username
Bir ayrıtı 16 cm olan küp biçimli koli sorusu: Köpüklerin yüzey alanı nasıl bulunur?
Soru Özeti:
• Ayrıtı 16 cm olan küp şeklindeki kolinin üst yüzü açılıyor (dolayısıyla koli iç yüzey alanı 5 × 16² = 1280 cm²).
• Koliye, her bir boyutu 16 cm’den küçük ve birbirine eş dikdörtgenler prizması biçiminde 4 köpük yerleştiriliyor.
• Köpükler yerleştirildikten sonra kolinin içinde açıkta kalan (gözle görülen) koli yüzeyleri boyanıyor ve bu boyanacak yüzeyin en küçük değeri 724 cm² olarak veriliyor.
• Buna göre, her bir köpüğün toplam yüzey alanı kaç cm²’dir?
Adım 1: Koli İçinde Boyanacak Alan
Koli üstü açık olduğundan, iç yüzey alanı:
Yerleştirilen 4 köpük, koli yüzeyinin bir kısmını kapladığı için kolinin bu kısımları boyanmayacaktır. Boyanmaya kalan en küçük açık koli yüzeyi 724 cm² olarak verilmiştir.
Dolayısıyla koli ile köpüklerin temas ettiği alan toplamı (kapattıkları koli yüzeyi):
Bu 556 cm², 4 köpüğün koliye temas yüzey alanlarının toplamıdır.
Adım 2: Bir Köpüğün Koliye Temas Alanı
Köpükler birbirine eş olduğundan, her birinin koliyle temas alanı:
Bir dikdörtgenler prizmasının, koli tabanına ve iki dik yan yüzeye değdiğini düşünürsek temas alanı (x, y, z < 16 olacak şekilde):
Diğer bir deyişle
Burada (x, y, z) < 16 koşulu altında, tam sayı çözümlerinden biri örneğin (x, y, z) = (1, 9, 13) veya (2, 9, 11) vb. şeklinde bulunabiliyor. Bu üç kenar çarpım-toplamı 139’u sağlıyor.
Adım 3: Köpüğün Toplam Yüzey Alanı
Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı:
Yukarıda bulduğumuz gibi x\,y + x\,z + y\,z = 139 olduğundan, köpüğün yüzey alanı
Dolayısıyla bir köpüğün toplam yüzey alanı 278 cm²’dir.
Cevap: 278 cm²
@username
Bir Ayrıtı 16 cm Olan Açık Küp Koli ve 4 Dikdörtgenler Prizması Köpük Problemi
Soru:
Bir ayrıtının uzunluğu 16 santimetre olan küp şeklinde bir kolinin üst yüzü koparılmıştır. Bu üstü açık koli içerisine ayrıtları 16 birimden küçük ve birbirine eş olan 4 adet dikdörtgenler prizması şeklindeki köpük yerleştirildikten sonra kolinin iç yüzeyinde açıkta kalan (boyanacak) bölge en az 724 cm² olmaktadır. Buna göre, bu köpüklerden birinin tüm yüzey alanı kaç cm²’dir?
Çözüm Adımları:
Genel Bilgiler ve İpuçları
-
Koli İç Yüzey Alanı (Tavan Açık)
Ayırdı 16 cm olan bir küpün normalde 6 yüzü vardır; ancak üst yüz açıldığı içiniçeride boyanabilecek(gerekirse) 5 yüz söz konusudur:- Taban: 16 × 16 = 256 cm²
- 4 yanal yüz: 4 × (16 × 16) = 1024 cm²
Dolayısıyla toplam iç yüzey alanı
256 + 1024 = 1280 \text{ cm}^2 -
Boyanacak Alan = 724 cm²
Eğer hiçbir köpük yerleştirilmezse içeride1280 cm²boyanacak yüzey kalırdı. Köpükler uygun biçimde yerleştirilip bazı kısımlar kapatıldığında boyanacak kısım en aza 724 cm² düşmektedir. Öyleyse koli iç yüzeyinde köpüklerin kapattığı alan1280 - 724 = 556 \text{ cm}^2 -
Köpükler Köşelerde Yerleşirse
Her bir dikdörtgenler prizması biçimindeki köpük, bir köşeyi dolduracak biçimde (tabanı tabana, yan yüzleri de koli duvarlarına değecek şekilde) yerleştirilirse, tek bir köpüğün koliden kapattığı alan o köpüğün 3 yüzünün koliye temas etmesinden dolayı oluşur:- Bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı formülü:A_{\text{toplam}} = 2(xy + xz + yz)
- Köşe yerleşiminde koliye temas eden yüzey alanı ise (taban + 2 yanal yüz):A_{\text{temas}} = xy + xz + yz
Yani koliyle temas eden alan, prizmanın toplam yüzey alanının tam yarısıdır.
- Bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı formülü:
Hesaplama
-
Toplam Kapanan Alan (4 Köpük) = 556 cm²
-
Bir Köpüğün Koliye Temas Ettiği Alan
Dört köpük birbirine eş olduğundan her biri ortalama\frac{556}{4} = 139 \text{ cm}^2alan kapatır. Buradaki 139 cm², bir tek köpüğün koliye temas eden yüzey alanıdır.
-
Bir Köpüğün Toplam Yüzey Alanı
Eğer bir köpük köşeye değer şekilde yerleştiriliyorsa, koliyle temas eden yüzey alanı, o köpüğün toplam yüzey alanının yarısı kadardır:A_{\text{temas}} = \frac{1}{2}\,A_{\text{toplam}}Dolayısıyla
A_{\text{toplam}} = 2 \times A_{\text{temas}} = 2 \times 139 = 278 \text{ cm}^2.
Böylece bir köpüğün tüm yüzey alanı 278 cm² bulunur.
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç (cm²) |
|---|---|---|
| 1. Koli iç yüzey alanı (üst açık) | 16×16 (taban) + 4×(16×16) (4 yan) | 1280 |
| 2. Boyanacak en küçük alan | Verilen bilgi | 724 |
| 3. Koli yüzeyinde kapanan alan | 1280 − 724 | 556 |
| 4. Her köpüğün kapattığı koli alanı | 556 ÷ 4 (çünkü köpükler eş ve 4 adet) | 139 |
| 5. Köpüğün köşeye değmesi sonucu | Temas alanı = Toplam yüzeyin yarısı → A_{\text{toplam}}/2 = 139 | |
| 6. Köpüğün toplam yüzey alanı | A_{\text{toplam}} = 2×139 | 278 |
Sonuç ve Kısa Özet
Köşelere tam oturan her bir dikdörtgenler prizması köpük, koli iç yüzeyinin 139 cm²’lik kısmını kapatmaktadır. Bu da duyarlı bir yerleşimde, o köpüğün yüzey alanının tam yarısına eşittir. Dolayısıyla bir köpüğün toplam yüzey alanı 278 cm²’dir.