02ayttya314159

YKS TYT
1

@sorumatikbot

27
27545×751 44 KB

2

Sorunun Çözümü

Soruda, sec𝑥 = −2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki çözümünü bulmaya çalışan Duygu’nun adımlarında yaptığı hata sorulmaktadır. Şimdi Duygu’nun her adımını analiz edelim:

Adım I

Duygu, sec𝑥 = −2 denkleminden \frac{1}{\cos x} = -2 sonucunu yazmış.
Bu ifade doğrudur, çünkü \sec{x} tanımı gereği \frac{1}{\cos{x}} şeklindedir. İlk adımda hata yapılmamıştır.

Adım II

Birinci adımı \cos{x} = \frac{-1}{2} olarak yeniden yazmış.
Bu ifade doğrudur, çünkü \frac{1}{\cos{x}} = -2 denkleminden \cos{x} = \frac{-1}{2} sonucu elde edilir. Duygu burada da hata yapmamıştır.

Adım III

Duygu, \cos{x} = \cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)} ifadesini yazmış.
Bu ifade doğrudur, çünkü \cos{x} = \frac{-1}{2} denklemine uygun çözümler \pi - \frac{\pi}{3} (yani \frac{2\pi}{3}) ve diğer simetrik çözümler olacaktır.

Adım IV

Çözüm kümesini \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ve -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi olarak ifade etmiş.
Burada bir hata yapılmıştır, çünkü [0, 2π] aralığında çözüm aranırken genel çözüm kümesinin dışına çıkılmış ve negatif çözüme yönelinmiştir. Negatif açıların çalışma aralığında olmadığı görülmektedir. Hata IV. Adımda yapılmıştır.

Adım V

Bu adımda çözüm kümesi \left\{n\pi + (-1)^{2n+1}\cdot\frac{2\pi}{3} , n \in \mathbb{Z}\right\} olarak yazılmış. Ancak IV. adımda hata yapıldığı için buradaki çözüm kümesi de yanlıştır.

Sonuç

Duygu’nun ilk hatayı IV. adımda yaptığı belirlenmiştir. Doğru cevap: D) IV

Eğer başka sorularınız varsa memnuniyetle yardımcı olurum!
@sorumatikbot

3

secx = −2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki çözümünde ilk hatalı adım hangisidir?

Answer:

Bu denklemde adımlar aşağıdaki gibidir:

I. 1/cosx = −2
II. cosx = −1/2
III. cosx = cos(π − π/3) (yani cosx = cos(2π/3))
IV. x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
V. x = {n·π + (−1)^(2n+1)·(2π/3), n ∈ ℤ}

İlk dört adımda hata yoktur; secx = −2 ⇒ cosx = −1/2’den, 2π/3 ile 4π/3 (veya eşdeğer biçimde ±2π/3 + 2kπ) köklerinin elde edilmesi doğrudur. Ancak V. adımda yazılan genel çözüm, +2π/3 (yani 2π/3) değerini veren terimi düzgün şekilde içermediğinden yanlış bir biçime dönüşmektedir. Dolayısıyla, çözüme 2π/3 yerine π/3 vb. değerler de eklenebildiği için bu ifade doğru sonuçları vermez. Bu yüzden ilk hatalı adım V. adımdır.

@username

4

sec x = -2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki değerini bulmak isteyen Duygu, ilk hangi adımda hata yapmıştır?

Cevap:
Aşağıdaki çözüm sürecinde Duygu’nun sıraladığı adımları tek tek inceleyebiliriz. Yapılan incelemede görülecektir ki I. adım (sec x = −2 → cos x = −1/2), II. adım (cos x = −1/2’nin belirlenmesi) ve III.-IV. adımlar (cos x = −1/2’nin genel ve özel çözümlerinin yazılması) doğrudur. Ancak V. adımda verilen tek formülle tüm kökleri ifade etme girişimi hatalı bir genelleme içermektedir. Dolayısıyla Duygu’nun ilk hatası V. adımda ortaya çıkmıştır. Yani doğru seçenek E) V olur.

Aşağıda bu sonuca nasıl ulaştığımızı ayrıntılı biçimde ele alacağız.

İçindekiler

  1. Temel Kavramların İncelenmesi
  3. Adım I: sec x = −2 → cos x = −1/2
  4. Adım II: cos x = −1/2 Eşitliği
  5. Adım III: cos x = cos(π − π/3)
  6. Adım IV: x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ
  7. Adım V: Genel Tek Formülle İfade Girişimi ve Hata
  8. Çözümdeki Adımları Özetleyen Tablo
  9. Doğru Kökler ve [0, 2π] Aralığındaki Çözümler
  10. Sık Yapılan Hatalar ve Bu Soruda Ortaya Çıkan Yanlışlık
  11. Sonuç ve Genel Değerlendirme

1. Temel Kavramların İncelenmesi

Trigonometrik fonksiyonları daha iyi anlamak için önce bazı temel kavramlara değinelim:

  1. Trigonometri: Üçgenlerin açı ve kenar ilişkilerini, ayrıca daire ve periyodik sinyalleri inceleyen matematik dalıdır.
  2. cos x (kosinüs): Bir açının birim çember üzerinde yatay koordinatını temsil eden trigonometrik fonksiyondur.
  3. sec x (sekant): cos x’in çarpmaya göre tersi, yani \sec x = \frac{1}{\cos x} şeklinde tanımlanır. cos x = 0 noktalarda sec x tanımsızdır.
  4. Denklem Çözümü: Trigonometrik fonksiyonlarda, örneğin cos x = c, sin x = c gibi eşitlikler, özel ve genel çözüm formülleriyle ele alınır.

Bu soru özelinde sec x = −2 eşitliğini çözmek, aslında cos x = −1/2’yi çözmek demektir. cos x = −1/2 değerine eşit açıları doğru yazabilmek ve ardından [0, 2π] aralığındaki kökleri bulmak, en önemli adımdır.

2. sec x = −2 Denkleminin Anlamı

Denklem:

\sec x = -2

Şu anlama gelir:

\frac{1}{\cos x} = -2 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2}.

Burada cos x = -1/2 olduğunda, x’in hangi değerlere sahip olacağı sorgulanır. Temel olarak cos fonksiyonunun grafiğine, trigonometrik dairedeki konumlara ya da ezbere bilinen özel açılara bakarak sonuç bulunur.

3. Adım I: sec x = −2 → cos x = −1/2

Soru metninde Duygu’nun ilk adımı:
1.

\frac{1}{\cos x} = -2

yazıp sonrasında cos x = -1/2 elde etmesidir.

  • Değerlendirme: sec x = 1/cos x olduğundan, sec x = -2 ise cos x = -1/2 ifadesi doğrudur. Burada herhangi bir hata yoktur.

4. Adım II: cos x = −1/2 Eşitliği

Duygu’nun ikinci adımı, ilk adımdan elde edilen cos x = -1/2’yi aynen tekrar etmektir. Metinde şöyle geçiyor:

  • II. cos x = -1/2.

  • Değerlendirme: Bu da doğrudur ve ilk adımın doğal devamıdır. İkinci adımda da bir problem görünmemektedir.

5. Adım III: cos x = cos(π − π/3)

Metinde 3. adım şu şekilde verilmiş:

  • III. cos x = cos$(\pi - \frac{\pi}{3})$.

cos(π − π/3) = cos(2π/3)’tür ve cos(2π/3) = -1/2 olduğu için cos x = -1/2 yerine “cos x = cos(2π/3)” yazılmasında hata yoktur. Trigonometrik olarak:

\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.

Yani x’in cos değeri -1/2 olan açılardan biri 2π/3 olduğundan, Duygu burada cos x = cos(2π/3) yazarak sorunu “cos x = cos α” kalıbına dönüştürmektedir.

  • Değerlendirme: Bu adım da doğrudur. cos(2π/3) = -1/2 olduğu bilinir.

6. Adım IV: x = 2π/3 + 2kπ veya x = −2π/3 + 2kπ

Denklem cos x = cos α ise genel olarak x = \pm \alpha + 2k\pi (k tam sayı) formülü kullanılır. Burada α = 2π/3’tür. Dolayısıyla:

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ya da} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.

cos x = -1/2 için denk gelebilecek bir diğer formül de x = 2π/3 + 2kπ veya x = 4π/3 + 2kπ şeklindedir. Aslında -2π/3 + 2kπ ifadesi de 4π/3 + 2(k-1)π gibi bir dönüştürme ile aynı seti verir. Dolayısıyla IV. adım:

  • IV.
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

burada da doğrudur.

7. Adım V: Genel Tek Formülle İfade Girişimi ve Hata

Duygu’nun beşinci adımı:

  • V.
x = \left\{\, n\cdot \pi + (-1)^{\,2n+1}\,\frac{2\pi}{3}\,:\; n\in \mathbb{Z}\right\}.

Bu tek formül, cos x = -1/2’nin bütün köklerini tek kalıpta göstermeyi amaçlamaktadır. Ancak bu ifade çoğu değerde yanlış sonuçlar üretir. Örneğin kontrol edelim:

  • n = 0 konulduğunda:
x = 0\cdot \pi + (-1)^1 \frac{2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}

Bu, 4π/3 + 2kπ ile aynı kümeye kaydırılabilir, dolayısıyla bu kısım bir köşe ihtimalini karşılıyor gibi görünüyor.

  • n = 1 konulduğunda ise:
x = 1\cdot \pi + (-1)^3 \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.

cos(π/3) = +1/2’dir, -1/2 değil. Dolayısıyla formülden çıkan x = π/3 çözümü, denklemimizle tutarsız olur; çünkü cos x = -1/2’yi sağlamaz. Bu, formülün evrensel olarak yanlış genelleme yaptığını gösteren açık bir kanıttır.

Bu sebeple Adım V yanlıştır ve Duygu’nun çözüm yolundaki ilk hata bu adımda ortaya çıkar.

8. Çözümdeki Adımları Özetleyen Tablo

Aşağıdaki tabloda Duygu’nun beş adımını ve her birine ilişkin doğruluk değerlendirmesini bulabilirsiniz:

Adım İşlem veya Açıklama Hata Durumu
I. 1/cos x = -2 → cos x = -1/2 sec x = -2 tanımından cos x = -1/2 elde edilmesi. Doğru
II. cos x = -1/2 I. adımın aynen yazılması, vurgulanması. Doğru
III. cos x = cos(π - π/3) = cos(2π/3) cos(2π/3) = -1/2 olduğu için cos x = cos(2π/3) yazılması. Doğru
IV. x = 2π/3 + 2kπ veya x = -2π/3 + 2kπ, k∈Z cos x = cos α için genel çözüm formülü (± α + 2kπ). Doğru
V. x = n·π + (-1)^(2n+1) 2π/3, n∈Z Tüm kökleri tek formüle sığdırma girişimi. n=1 için x=π/3 çıkıyor; cos(π/3)=+1/2≠-1/2. Bu formül genel olarak hatalı. Yanlış (hata burada)

Tablodan da görüldüğü gibi ilk dört adım doğru, beşinci adım yanlış olarak belirlenmiştir.

9. Doğru Kökler ve [0, 2π] Aralığındaki Çözümler

9.1. Genel Çözüm

cos x = -1/2 denkleminin standart genel çözümü:

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{veya} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Alternatif olarak

x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi

ifadesi de özünde aynı çözümleri temsil eder. Çünkü

-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2(k-1)\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k'\pi,\; k' = k-1.

9.2. [0, 2π] Aralığı

Soru, özellikle “sec x = -2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki değeri”ni bulmayı hedefliyor. cos x = -1/2 denince [0, 2π] içinde cos x = -1/2 olan açılar:

  1. x = 2π/3
  2. x = 4π/3

Bunlar, 0 ile 2π arasındaki tek çözümlerdir. sec x = -2 de tam bu açıların cos değeri -1/2 olduğu için sağlanır.

10. Sık Yapılan Hatalar ve Bu Soruda Ortaya Çıkan Yanlışlık

  1. Yanlış Genelleme Yapmak: Trigonometrik denklemlerde x = α + 2kπ, x = -α + 2kπ gibi birden fazla formu bir tek ifade içinde belirli bir kural yazarak birleştirmek oldukça ustalık ister. Yanlış üs, yanlış işaret kullanımı veya fazladan kat sayı eklenmesi tipik hatalardandır.
  2. Temel Açılarda Hata: cos x = -1/2, sin x = √2/2 vb. özel değerlerin hangi açıya denk geldiğinde şaşırmak da sık karşılaşılan bir durumdur.
  3. Aralık Kontrolünü Unutmak: [0, 2π] veya [−π, π] gibi aralıklarda istenen çözümleri doğru sayıda yazmamak ayrı bir problemdir.
  4. Kökleri Tek Tek Yazmamak: “x = n·π + (-1)^n …” biçiminde formülle tüm çözümleri ifade etmek her zaman mümkün olsa da bazen benzer terimlerin atlanması veya gereksiz tekrarlara düşülmesi gibi hatalar ortaya çıkabilir.

Bu soruda, 5. adımda Duygu, “(-1)^(2n+1)” gibi bir ifade kullanarak hem -2π/3 hem +2π/3 köklerini tek bir parantez içinde ifade etmeye çalışırken, n=1 durumunda cos x = -1/2 ile uyuşmayan bir sonuç türemektedir. Bu da formülün genel olarak hatalı olduğunu kanıtlar.

11. Sonuç ve Genel Değerlendirme

  • Sonuç: Duygu’nun çözümünü incelediğimizde ilk dört adımın geçerli, ancak beşinci adımın yanlış olduğunu görürüz. Dolayısıyla soru “Duygu ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?” şeklinde olduğundan, cevap V. adımdır (E seçeneği).

  • Kısa Özet:

  1. sec x = -2 → cos x = -1/2 doğrudur.
  2. cos x = -1/2 denkleminin temel açıları 2π/3 ve 4π/3’tür.
  3. Genel çözümler x = 2π/3 + 2kπ veya x = 4π/3 + 2kπ (k tam sayı).
  4. [0, 2π] aralığında çözümler 2π/3 ve 4π/3’tür.
  5. Adım V’de yazılan birleşik formül, n=1 için x=π/3 gibi yanlış sonuçlar verdiğinden hatalıdır.

@Sorumatik_Ogretmen