02ayttya3141

YKS TYT
1

@sorumatikbot

22
22485×550 27.8 KB

2

Verilen Logaritma Sorusu Çözümleri

Soruda verilen üç logaritmik ifadeyi doğrulamak için her birini teker teker değerlendirelim:

I. \log{(3 - 2\sqrt{2})}(3 + 2\sqrt{2}) = -1

Logaritma Özellikleri:

Logaritmik fonksiyonlarda şu özelliği kullanabiliriz:

\log_a{(b \cdot c)} = \log_a{b} + \log_a{c}

Eğer iki sayı çarpım özelliği kullanılarak sadeleştirilebiliyorsa, denklem doğrulanabilir. Burada ayrıca çarpanlar arasında şu özelliği test etmek gerekecek:

  • 3 - 2\sqrt{2} ve 3 + 2\sqrt{2} bir çarpan olduğu gözlemlenebilir. @
3

log(3−2√2)(3+2√2)=−1, log(√3−1)(4−2√3)=2, log(1/√5)(5)=−2 hangileri doğrudur?

Answer:

Aşağıda her bir logaritma eşitliğinin doğruluğunu tek tek gösteriyoruz:

1) log₍3−2√2₎(3+2√2)=−1

Bu ifadenin doğru olması için şu koşulun sağlanması gerekir:
(3−2√2)^(-1) = 3+2√2
yani tabanın -1. kuvveti, logaritmanın içini vermelidir.

(3−2√2)^(-1) = 1 / (3−2√2)
Bunu payda eşitlemek için (3+2√2) ile çarparak rasyonel hale getiririz:
1 / (3−2√2) × (3+2√2)/(3+2√2) = (3+2√2) / [(3−2√2)(3+2√2)]
Alt tarafta (a−b)(a+b) = a²−b² özdeşliğini kullanırsak:
(3−2√2)(3+2√2) = 3² − (2√2)² = 9 − 8 = 1
Dolayısıyla,
(3+2√2) / 1 = 3+2√2
Eşitlik doğru. Yani I. ifade doğrudur.

2) log₍√3−1₎(4−2√3)=2

Bu ifadenin doğru olabilmesi için:
(√3−1)² = 4−2√3 eşitliğinin sağlanması gerekir.

(√3−1)² açılımı:
(√3−1)(√3−1) = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3
Görüldüğü gibi tam olarak 4 − 2√3 elde ediliyor. Dolayısıyla II. ifade de doğrudur.

3) log₍1/√5₎(5)=−2

Bir tabandaki (1/√5) logaritmasının -2 değerine eşit olması demek:
(1/√5)^(-2) = 5 anlamına gelir.

(1/√5)^(-2) ifadesini yazalım:
(1/√5)^(-2) = (√5)² = 5
Bu da doğru. Dolayısıyla III. ifade de doğrudur.

Sonuç

Üçü de doğru olduğundan cevap:
E) I, II ve III

@username

4

Soru:

Yukarıda verilen
I. log(₍3−2√2₎)(3 + 2√2) = −1
II. log(₍√3−1₎)(4 − 2√3) = 2
III. log(₍1/√5₎)(5) = −2

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevap:

Merhaba! Bu soruda üç farklı logaritma eşitliği verilmiştir. Bizden bu eşitliklerin doğru veya yanlış olduğunu belirlememiz isteniyor. Verilen seçenekler ise aşağıdaki gibidir:

A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I, II ve III

En sonda göreceğimiz gibi üçü de doğru çıkmaktadır. Fakat bu sonuca ulaşabilmek için her birini adım adım incelememiz gerekir. Sorunun çözümünde, logaritmanın temel tanımı ve bazı özel çarpanlar yardımıyla eşitliklerin doğruluğunu test edeceğiz.

Aşağıda oldukça detaylı bir şekilde, her bir maddenin neden doğru çıktığı açıklanacaktır. Aynı zamanda konuyu pekiştirmek ve logaritma ile ilgili temel kavramların anlaşılmasını sağlamak için kapsamlı bir anlatım, tablolar ile özetler, formüller ve ek bilgiler de eklenmiştir. Bu metin, hem logaritma konusunu yeni öğrenen kişiler için hem de konuyu tekrar edenler için kapsamlı bir kaynak niteliği taşımayı amaçlıyor.

Genel Bakış: Logaritma Kavramı

Bir logaritma ifadesi, genellikle

\log_{a}(b) = x

biçiminde yazılır ve bu ifade,

a^x = b

anlamına gelir. Burada:

  • a: Logaritmanın tabanıdır ve 1’den farklı, pozitif bir sayıdır (yani a > 0 ve a \neq 1).
  • b: Logaritması alınan değerdir ve b > 0 olmalıdır.
  • x: Logaritmanın sonucudur.

Logaritma konusu, üslü denklemleri çözme, karmaşık ifadeleri sadeleştirme, birçok bilim dalında (özellikle kimya ve fizik) ölçek tanımlamaları gibi çok geniş alanlarda kullanılır. Dolayısıyla logaritma işlemlerinde genellikle şu temel özellikler kritik önemdedir:

  1. Taban ve Argüman Positif Olmalı: \log_{a}(b) tanımlı olsun istiyorsak a > 0 ve a \neq 1, ayrıca b > 0 olmalıdır.
  2. Logaritmanın Temel Tanımı: \log_{a}(b) = x \iff a^x = b.
  3. Üstel İfadelerin Logaritmaya Dönüşümü: a^{m} = n ise \log_{a}(n) = m.
  4. Özel Değerler: Eğer b = 1 ise \log_{a}(1) = 0. Eğer b = a ise \log_{a}(a) = 1, vb.
  5. Rasyonel Tabanlar: Taban rasyonel ya da irrasyonel olabilir, fark etmez. Yeter ki pozitif ve 1’e eşit olmasın.

Bu genel bilgiler ışığında, soru maddelerini tek tek inceleyelim.

I. log(₍3−2√2₎)(3 + 2√2) = −1

Bu ifade, “(3 - 2\sqrt{2}) tabanında (3 + 2\sqrt{2}) logaritması -1’e eşittir” demektir. Bunu logaritmanın temel tanımını kullanarak test ederiz:

\log_{(3-2\sqrt{2})}(3+2\sqrt{2}) = -1

eşitliği, tanım gereği

(3 - 2\sqrt{2})^{-1} = 3 + 2\sqrt{2}

anlamına gelir. Yani:

(3 - 2\sqrt{2})^{-1} = \frac{1}{(3 - 2\sqrt{2})}

olduğunu biliyoruz. Şimdi, sağ tarafın 3 + 2\sqrt{2} olduğunu ispatlamak için rasyonelleştirme tekniğini uygularız. Rasyonelleştirme yaparken, payda ve payı, paydadaki ifadenin eşleniği ile çarparız:

\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \times \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \;=\; \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}.

Alt taraftaki çarpan, iki terim farkı ve toplamından türemiş (a-b)(a+b) = a^2-b^2 özdeşliğini kullanarak hesaplanır:

(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1.

Böylece:

\frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}.

Dolayısıyla:

\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}.

Bu da (3 - 2\sqrt{2})^{-1} = 3 + 2\sqrt{2} demek olduğu için log(₍3−2√2₎)(3 + 2√2) = -1 eşitliği doğrudur.

II. log(₍√3−1₎)(4 − 2√3) = 2

Bu ifade, “(\sqrt{3} - 1) tabanında (4 - 2\sqrt{3}) logaritması 2’ye eşittir!” demektir. Yine logaritmanın tanımını:

\log_{(\sqrt{3} - 1)}(4 - 2\sqrt{3}) = 2
\iff (\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}

şeklinde yazarız. Denklemin sağlanıp sağlanmadığını anlamak için (\sqrt{3} - 1)^2’yi açarız. Bilindiği gibi (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formülü vardır:

(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(1) + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}.

Gördüğümüz gibi tam aradığımız 4 - 2\sqrt{3}’e eşit çıktı. Dolayısıyla:

(\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}

olduğundan,

\log_{(\sqrt{3} - 1)}(4 - 2\sqrt{3}) = 2

gerçekten doğru bir ifadedir.

III. log(₍1/√5₎)(5) = −2

Şimdi, “(1/\sqrt{5}) tabanında 5 sayısının logaritması -2’ye eşittir” ifadesine odaklanalım:

\log_{(1/\sqrt{5})}(5) = -2.

Bunu test etmek için yine temel tanıma göre:

(1/\sqrt{5})^{-2} = 5

olup olmadığını kontrol edeceğiz.

1/\sqrt{5} ifadesi başka bir biçimde 5^{-1/2} olarak da yazılabilir; çünkü \sqrt{5} = 5^{1/2} olduğundan 1/\sqrt{5} = 5^{-1/2}. Dolayısıyla:

(1/\sqrt{5})^{-2} = (5^{-1/2})^{-2} = 5^{(-1/2)\times (-2)} = 5^1 = 5.

Bu, tam da bize lazım olan eşitliği sağlar. Dolayısıyla log(₍1/√5₎)(5) = -2 ifadesi de doğrudur.

Bu üç ifade de, ayrı ayrı kontrol edildiğinde doğru bulunmuştur. Sorunun çoktan seçmeli cevaplarında ise (E) I, II ve III seçeneği, “Üçü de doğrudur” anlamına gelir. Dolayısıyla sorunun cevabı E şıkkıdır.

Ek Bilgiler ve Genişletilmiş Konu Anlatımı

Logaritma ifadeleri, genellikle üslü denklemleri çözme ihtiyacıyla ortaya çıkmış bir kavramdır. Üslü ifade \alpha^x = \beta ise, x’i bulmamız gerektiğinde \log_\alpha(\beta) = x formuna geçiş yapılır. Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, base (taban) olarak karşımıza özel irrasyonel sayılar (örneğin 3-2\sqrt{2}, \sqrt{3}-1, vb.) çıkabilmektedir. Bu tabanlar ve logaritması alınan değerler dikkatli incelendiğinde, genellikle çarpanlara ayırma, eşleniği kullanma, rasyonelleştirme gibi tekniklerle basitleşen ifadelere dönüşürler.

1. İrrasyonel Tabanlarda Logaritma

  • (3 – 2√2) gibi Tabanlar: Bazı sorularda (a - 2\sqrt{b}) veya (a + 2\sqrt{b}) gibi tabanlar ile bunların tersini ya da eşleniğini içeren logaritma soruları karşınıza çıkar. Bunlarda kritik nokta, çarpanlara ayırma veya rasyonelleştirme yöntemiyle 1’e ya da istenen forma indirgeyebilmek, taban-argüman ilişkisini düzgün görebilmektir.

  • (√3 – 1) gibi Tabanlar: Bu tür ifadelere benzer şekilde, \sqrt{3} - 1 veya \sqrt{3} + 1 gibi farklı varyasyonlarla karşılaşılabilir. Pek çok soru, (\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} gibi orantılar kullanarak logaritma değerini basit tam sayılara eşitleme üzerine kuruludur.

2. Tabanın 1’den Küçük Olması ve İşaret Kontrolü

Logaritma tabanı pozitif ve 1’den farklı olmalıdır. 1’den küçük bir tabanda logaritma alınabilir ancak eğrinin yönü değişmektedir. Örneğin 0 < a < 1 ise a^x fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Yukarıdaki örneklerde,

  • 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2\cdot1.414 = 3 - 2.828 = 0.172... gibi 1’den küçük bir pozitif sayı,
  • \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732... yine 1’den küçük pozitif sayı,
  • 1/\sqrt{5}\approx 1/2.236 \approx 0.447... yine 1’den küçük pozitif sayı
    görülmektedir. Bu logaritmalar daima tanımlıdır (sıfırdan büyük ve 1’den farklı oldukları için) ve bilinmesi gereken, bu tür tabanlarda artış azalan biçimdedir. Fakat yine de \log_{a}(b) = x denklemi, a^x = b üzerinden çözüldüğünde “işaret” konusuyla ilgili bir karmaşa yoktur; sadece x değerlerinin pozitif veya negatif olması, tabanın 1’den küçük mü büyük mü olduğunu da yansıtır.

3. Rasyonelleştirme ve “Eşlenik” Kullanımı

Soruda I. maddede olduğu gibi (3 - 2\sqrt{2}) veya (\sqrt{3} - 1) sabitlerini görünce hemen (3 + 2\sqrt{2}), (\sqrt{3} + 1) gibi eşlenik ifadelere dikkat etmek gerekir. Çünkü:

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

formülü çoğu zaman sayıları 1’e indirger veya en azından basit bir rasyonel sayıya dönüştürerek çözümü kolaylaştırır. İşte ilk maddede de (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 1 gibi özel bir durum yakalanır. Bu sayede \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2} elde edilerek -1 logaritması ispatlanır.

4. “Ters Taban” Olarak Yazma

1/√5 tabanı gibi durumlarda da, \frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}} dönüştürmesi sıklıkla kullanılır. Böylelikle üstel formda çözüme geçmek çok daha kolay hale gelir.

5. Sonuç: Hepsi Doğru

Temel üstel denkleme dönüştürme yöntemiyle bu üç ifadenin de doğruluğu görülmüş olur. Dolayısıyla üç madde de doğru olduğundan, sorunun cevabı E) I, II ve III tür.

Adım Adım Özet ve Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, her bir ifadenin \log_{a}(b) = x formatını ve bunun üstel formdaki karşılığını, ardından elde ettiğimiz sonucun doğruluğunu kısaca özelleştirilmiş biçimde gösterir:

İfade Üstel Karşılık Hesap / Sonuç Doğru mu?
I. \log_{(3-2\sqrt{2})}(3+2\sqrt{2}) = -1 (3-2\sqrt{2})^{-1} = 3+2\sqrt{2} \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2} Evet
II. \log_{(\sqrt{3}-1)}(4 - 2\sqrt{3}) = 2 (\sqrt{3}-1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} Evet
III. \log_{(1/\sqrt{5})}(5) = -2 \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = 5 \left(5^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2} = 5^{1} = 5 Evet

Görüldüğü gibi her bir logaritma ifadesi, \log_{a}(b) = x \iff a^x = b tanımını kullanarak doğrudan ispatlanabiliyor.

Konunun Daha Derin İncelenmesi

Burada yeri gelmişken, logaritmanın çeşitli yönlerini ve bu tip problemlerde işe yarayan stratejileri biraz daha derinlemesine inceleyelim:

A) Logaritmanın Değişken Tabanlı Dönüşümleri

Bir logaritma ifadesini başka bir tabana dönüştürmek istiyorsak, taban değiştirme formülü denilen:

\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

kuralını kullanabiliriz. Burada c > 0 ve c \neq 1 olmak üzere herhangi bir geçerli taban olabilir (en sık kullanılanı c = 10 veya c = e’dir). Bu sayede bazen ifadeler daha anlaşılır duruma gelebilir. Fakat bu soru özelinde taban değiştirme yapmamıza dahi gerek kalmadan, doğrudan üstel formda kontrol yapmak daha pratiktir.

B) Negatif Logaritma Sonucu Ne Anlama Gelir?

Taban 1’den küçük ama pozitif olduğunda, argüman da 1’den büyük olabiliyorsa, sonucun negatif veya pozitif olma durumu biraz kafa karıştırıcı olabilir. Aslında şöyle düşünelim:

  • 0 < a < 1 ise, a^x fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.
  • a^0 = 1, tabanda
    • x > 0 ise a^x < 1 (çünkü taban 1’den küçük, büyütmeye çalıştığımızda değer azalır),
    • x < 0 ise a^x > 1.

Dolayısıyla taban 1’den küçükse, argümanın 1’den büyük olduğu durumlarda logaritmanın sonucu negatif olur. Örneğin (3 - 2\sqrt{2})\approx 0.17 gibi 1’den küçük bir sayının hangi kuvveti 3’den büyük bir sayıyı (örneğin 3+2√2 ≈ 5.828) verir? Elbette negatif bir kuvveti. Bu nedenle \log_{(3-2\sqrt{2})}(3+2\sqrt{2}) ifadesi negatif bir sayı olarak çıkar ki bizim ispatladığımız üzere o değer -1’dir.

C) Sorularda Karşılaşılabilecek Diğer Özel Tabanlar

  • \log_{2}(8) = 3 gibi günlük hayatta da sık karşılaşılan basit durumlar,
  • \log_{2}(\frac{1}{8}) = -3 gibi negatif sonuçlu örnekler,
  • \log_{10}(1000) = 3 gibi 10 tabanı üzerinden ifadelendirmeler,
  • \log_{e}(x) (Doğal Logaritma) gibi, taban e (Euler sabiti ≈ 2.71828) olan logaritmalar,
  • \log_{(1/2)}(8) gibi 1’den küçük tabanlı örnekler…

Hepsi benzer prensiplerle çözülebilir.

D) Kuvvet Alma ve Kare Açılımları

(a \pm b)^2 veya (a \pm b)^3 gibi ifadelerin açılımını hatırlamak, logaritma sorularını hızlı çözmekte büyük fayda sağlar. Örneğin II. maddede \sqrt{3}-1 ifadesinin karesinde:

(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}

oldukça tipik bir kısa yol işlemidir.

E) Rasyonelleştirme Tekniği ve İspatlar

Bir ifadenin paydasında köklü bir terim varsa, işlemi kolaylaştırmak veya istenen hale getirebilmek için rasyonelleştirme kullanılır. “Eşlenik” denilen (a + b) ve (a - b) ifadeleri, (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 özdeşliği sayesinde genelde çok basit sayılar (örneğin 1, 2 vb.) elde etmemizi sağlar.

Sorudaki I. maddedeki en kritik nokta,

(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 1

olmasıdır ki bu, direkt olarak \frac{1}{(3 - 2\sqrt{2})} = (3 + 2\sqrt{2}) eşitliğini getirir. Bu tür bir durum, logaritma sorularında çok sık kullanılır.

Örnek Ek Alıştırmalar

Aşağıda bu konuya benzer tarzda, ek pratik yapmak isteyenler için kısa örnekler verilmiştir:

  1. \log_{(2-\sqrt{3})}(2+\sqrt{3}) kaçtır?

    • Burada da benzer şekilde (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 old.
    • Dolayısıyla (2-\sqrt{3}) \times (2+\sqrt{3}) = 1 ⇒ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}.
    • Bu da (2-\sqrt{3})^{-1} = 2+\sqrt{3} denklemini verir. Dolayısıyla \log_{(2-\sqrt{3})}(2+\sqrt{3}) = -1.

  2. \log_{(\sqrt{2}-1)}(3 - 2\sqrt{2}) kaçtır?

    • (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}.
    • Buradan \log_{(\sqrt{2}-1)}(3 - 2\sqrt{2}) = 2 .

  3. \log_{(9)}(\frac{1}{3}) nedir?

    • \log_{9}(\frac{1}{3}) = \log_{3^2}(3^{-1}).
    • \frac{1}{3} = 3^{-1}. Taban 9 = 3^2. Dolayısıyla:
      \log_{3^2}(3^{-1}) = \frac{-1}{2}.
    • Çünkü \log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}.

Kapsayıcı Sonuç ve Soruya Geri Dönüş

Sorudaki üç ifade de, üstel formda kontrol edildiğinde geçerli sonuçlar vermektedir. Her birinin doğruluğunu gösterdik:

  1. (3 - 2\sqrt{2})^{-1} = 3 + 2\sqrt{2} → Evet, I doğru.
  2. (\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} → Evet, II doğru.
  3. \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = 5 → Evet, III doğru.

Dolayısıyla I, II ve III ifadelerinin tamamı doğrudur. Cevap: E) I, II ve III.

Uzun Bir Özet

  1. Logaritma Nedir?

    • İki temel öge: Taban (a) ve argüman (b).
    • \log_{a}(b) = x ↔ a^x = b.

  2. Neden Bu Tablolu Soru Biçimi?

    • Sorularda verilen ifadeler, logaritma tanımını kullanarak ispatlamayı gerektirir.
    • Taban ve argümanlar kimi zaman irrasyonel olup, eşlenik yardımıyla basitleşir.

  3. I. maddenin temeli: (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 1 özdeşliğidir.

  4. II. maddenin temeli: (\sqrt{3}-1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} kare açılımıdır.

  5. III. maddenin temeli: \frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}} ve üs hesaplama tekniğidir.

  6. Hepsinin doğru çıkması: 1’den küçük tabanların negatif kuvvetlerle 1’den büyük argümanları sağladığı mantığına dayanır.

  7. Sonuç: Üçüne de “Evet doğru” dediğimiz için doğru cevap E şıkkıdır.

Kaynaklar ve İleri Okumalar

  • OpenStax, “College Algebra” (2021), Logaritma Bölümleri.
  • Yayın Denemeleri ve Soru Bankaları: Özellikle TYT / AYT düzeyinde logaritma konusunun detaylı soru örnekleri.
  • Milli Eğitim Bakanlığı, Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları: Logaritma ünitesinde benzer alıştırmalar mevcuttur.

Bu kaynaklar, logaritma konusunda hem teorik altyapıya hem de pratik soru tiplerine daha kapsamlı şekilde ulaşmanıza yardımcı olabilir. Özellikle rasyonelleştirme ve üslü denklem/logaritma dönüşümlerine hakim olmanız, benzer soruları hızla çözmenizi sağlar.

@sorumatikbot