Sorunun Çözümü:
Soruda, mağazanın ilk gün 125 birim kâr ettiği ve sonraki günlerde her gün kârını bir önceki günün kârının %25’i (yani \frac{1}{4}) kadar artırdığı belirtiliyor.
Kâr Artışının Matematiksel İfadesi:
Bu artış geometrik bir dizi oluşturur. İlk günün kârına a_1 = 125 diyelim. Her bir sonraki gün için kâr şu şekilde hesaplanır:
Buradan kâr oranı \left(1 + \frac{1}{4}\right), yani 1.25 veya \frac{5}{4} olur.
Genel Terim Formülü:
Geometrik dizilerin genel terimi şu şekilde hesaplanır:
Burada:
- a_1 = 125 (ilk gün kârı),
- r = \frac{5}{4} (artış oranı),
- n-1 (terimin kaç gün sonra olduğu).
Mağazanın 25. gün sonundaki kârı için n = 25 alınır:
Üslü Sayıların Sadeleştirilmesi:
Sonuç:
Soruda verilen şıklardan doğru cevap A seçeneğidir:
@username
Yeni açılan bir mağaza sorusu (günlük kâr %25 artış)
Soru:
Yeni açılan bir mağaza, ilk gün 125 birim kâr ediyor. Sonraki günlerde, her gün kârını önceki günün kârının 1/4’ü kadar artırıyor. Buna göre, 25. günün sonunda bu mağaza kaç birim kâr eder?
A) 5^27 / 2^48
B) 5^50 / 2^25
C) 5^28 / 2^28
D) 5^47 / 2^25
E) 5^28 / 2^25
Çözüm Aşamaları
-
İlk gün kârı:
Gün 1 kâr = 125 birim. -
Her gün kârın artış oranı:
Mağaza, bir önceki günün kârının 1/4’ü kadar artış yapıyor.
Bu, günlük kârın her gün bir önceki günün (1 + 1/4) = 5/4 katına çıktığı anlamına gelir. -
n’inci gün kârını bulma formülü:
Günlük kâr, geometrik dizi şeklinde artar:
Gün n kârı = İlk gün kârı × (5/4)^(n - 1)
Burada, n = 25 için:
Gün 25 kârı = 125 × (5/4)^(25 - 1) = 125 × (5/4)^24. -
Sadeleştirme:
- 125 = 5³.
- (5/4)^24 = (5^24)/(4^24).
- 4^24 = (2²)^24 = 2^48.
Dolayısıyla:
Gün 25 kârı
= 5³ × 5^24 / 2^48
= 5^(3 + 24) / 2^48
= 5^27 / 2^48.
Doğru Seçenek
Bu hesaplamaya göre 25. gün sonundaki kâr, şıklardan A) 5^27 / 2^48 ifadesine eşittir.
Yeni açılan bir mağaza, ilk gün 125 birim kâr ediyor. Sonraki günlerde, her gün kârını önceki günün kârının 1/4’ü kadar artırıyor. Buna göre, 25. günün sonunda bu mağaza kaç birim kâr eder?
Cevap:
Giriş ve Kavramsal Çerçeve
Bir mağaza, belirli bir ilk gün kârı ile başlıyor ve her gün kâr, bir önceki günün kârına belli bir oransal artış eklenerek ilerliyor. Bu tip problemler, geometrik dizi veya geometrik artış kalıbına uygundur.
- İlk gün kârı (1. gün): 125 birim
- Her gün kâr artışı: önceki gün kârının 1/4’ü
Bu ifadenin diğer bir anlamı, her yeni günde elde edilen kârın, önceki günün kârına ek olarak (1/4) katı kadar ekstra kâr eklenmesi demektir. Eğer bir önceki günün kârı K_{n-1} ise, n. günün kârı:
Bu, geometrik bir dizi oluşturur; çünkü her günün kârı bir önceki günün kârının \frac{5}{4} katına eşittir.
Geometrik Dizi Tanımı ve Formülü
Bir geometrik dizi (a_n), belirli bir sabit r (ortak çarpan) etrafında tanımlanır.
- İlk terim: a_1
- Ortak çarpan: r
- n. terim (genel terim):a_n = a_1 \times r^{\,n-1}
Bu problemde:
- İlk gün kârı: a_1 = 125
- Ortak çarpan: r = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
Dolayısıyla n. günün kârı:
25. Gün Kârının Hesaplanması
Adım 1: Formülün Uygulanması
- günün kârını bulmak için n=25 değerini formüle yerleştiririz:
Adım 2: İfadeyi Üstlü Sayılar Şeklinde Yazma
125 sayısı $5^3$’e eşittir. Aynı şekilde \left(\frac{5}{4}\right)^{24} ifadesini de ayrı ayrı üs Formatında ifade edebiliriz:
- 125 = 5^3
- \left(\frac{5}{4}\right)^{24} = \frac{5^{24}}{4^{24}}
Dolayısıyla:
Adım 3: $4^{24}$’ü 2 Üstüne Dönüştürme
4^{24}, $2^2$’nin 24’üncü kuvvetidir:
Böylece:
Adım 4: Uygun Cevap Seçeneğinin Belirlenmesi
Seçeneklere baktığımızda:
- A) \displaystyle \frac{5^{27}}{2^{48}}
- B) \displaystyle \frac{5^{50}}{2^{25}}
- C) \displaystyle \frac{5^{28}}{2^{28}}
- D) \displaystyle \frac{5^{47}}{2^{25}}
- E) \displaystyle \frac{5^{28}}{2^{25}}
Hesaplamamız \frac{5^{27}}{2^{48}} sonucuna ulaştığı için doğru cevap A seçeneğidir.
Ayrıntılı Açıklama ve Ek Bilgiler
Aşağıdaki kısımlarda geometrik dizi prensiplerini daha da detaylı inceleyerek, adım adım nasıl ilerlediğimizi göreceksiniz.
1. Günlük Kârda Geometrik Artışın Mantığı
-
İlk gün kârı (1. gün): 125 birim
-
2. gün kârı: 1. gün kârının $\frac{1}{4}$’ü kadar artıyor. Yani
K_2 = K_1 + \frac{1}{4} K_1 = K_1 \left(1 + \frac{1}{4}\right) = K_1 \times \frac{5}{4}.Bu durumda K_2 = 125 \times \frac{5}{4} = 125 \times 1.25 = 156.25 birimdir (kesirli şekilde 625/4).
-
3. gün kârı: 2. gün kârının $\frac{1}{4}$’ü artar, yani
K_3 = K_2 \left(\frac{5}{4}\right) = \left(125 \times \frac{5}{4}\right) \times \frac{5}{4} = 125 \times \left(\frac{5}{4}\right)^2.
Bu şekilde devam eden artış, her gün bir önceki günün kârını \frac{5}{4} ile çarpmakla eşanlamlıdır.
2. Genel Terim (n. Gün) Hesabı
- K_n = K_1 \times \left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}.
Bu formül, n. günün kârını doğrudan verir.
n=25 için:
3. Sayıları Üslü Şekilde İfade Etme
- 125 = 5^3
- \left(\tfrac{5}{4}\right)^{24} = \tfrac{5^{24}}{4^{24}}
- 4^{24} = (2^2)^{24} = 2^{48}
Böylece:
4. Seçeneklerle Karşılaştırma
Sonuç, \frac{5^{27}}{2^{48}} şeklindedir ve bu A seçeneğine denk düşer.
Örnek İlk Beş Gün Kâr Tablosu
Aşağıdaki tabloda, ilk 5 güne ait kârları adım adım gösteriyoruz (tamamen anlaşılması için). Burada, her gün önceki güne ek olarak 1/4 oranında artış göstermektedir.
| Gün (n) | Günlük Kâr İfadesi | Kâr (Kesirli/Üslü İfade) | Yaklaşık Değer |
|---|---|---|---|
| 1 | K_1 = 125 | 125 = 5^3 | 125,00 |
| 2 | K_2 = 125 \times \frac{5}{4} | \frac{125 \times 5}{4} = \frac{625}{4} | 156,25 |
| 3 | K_3 = 125 \times \left(\frac{5}{4}\right)^2 | \frac{125 \times 5^2}{4^2} = \frac{3125}{16} | 195,31 (≈) |
| 4 | K_4 = 125 \times \left(\frac{5}{4}\right)^3 | \frac{125 \times 125}{64} = \frac{15625}{64} | 244,14 (≈) |
| 5 | K_5 = 125 \times \left(\frac{5}{4}\right)^4 | \frac{5^3 \times 5^4}{4^4} = \frac{5^7}{2^8} | 305,18 (≈) |
Tablodan da görüldüğü gibi günlük kâr, geometrik oranda (her defasında 5/4 katı) büyümeye devam eder. 25. gün bu çarpma 24 kez gerçekleştiğinden,
Problemin Çözümünde İzlenebilecek Adımlar (Özet)
-
İlk Kârı Belirleme
-
- gün kârı: 125.
-
-
Artış Oranını Tanımlama
- Her gün önceki gün kârına, önceki gün kârının $1/4$’ü eklenir.
- Artış faktörü: 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.
-
Geometrik Dizi Kavramı
- Dizi, K_n = K_1 \times r^{n-1} şeklinde tanımlanır.
- Burada r = \frac{5}{4} ve K_1 = 125.
-
25. Gün Hesabı
- K_{25} = 125 \times \left(\frac{5}{4}\right)^{24}.
-
Üslü Biçimde Düzenleme
- 125 = 5^3.
- \left(\frac{5}{4}\right)^{24} = \frac{5^{24}}{4^{24}} = \frac{5^{24}}{2^{48}}.
- Sonuç: K_{25} = \frac{5^{27}}{2^{48}}.
-
Seçenekleri Kontrol Etme
- Bulunan ifade \frac{5^{27}}{2^{48}}, seçenek A ile örtüşür.
Alternatif Yaklaşım: Gün Gün Çarpmayı Gözlemleme
Daha temel bir yaklaşımla, isterseniz 25 kez \frac{5}{4} ile çarpıldığını teker teker gösterebilirsiniz, ancak bu çok uzun ve pratik olmaktan uzaktır. Dolayısıyla, geometrik dizi formülü soruyu doğrudan çözer.
- Gün: 125
- Gün: \;125 \times \frac{5}{4}
- Gün: \left(125 \times \frac{5}{4}\right) \times \frac{5}{4}
- Gün: \left(\left(125 \times \frac{5}{4}\right) \times \frac{5}{4}\right) \times \frac{5}{4}
Bu şekilde 25. güne varıldığında:
Problemin Anahtar Noktaları
- Geometrik Diziye Dair Bilgi: Disiplinler arası birçok problemde, bir değer her seferinde sabit bir oranda çarpılıyorsa geometrik dizi tanımı devreye girer.
- Üslü Sayılarla İşlem: 125’in 5^3 olduğunu ve $4^{24}$’sin 2^{48} olarak yazılabileceğini bilmek, büyük sayılarla çalışmayı kolaylaştırır.
- Seçeneklerin Karşılaştırılması: Sorunun çoktan seçmeli oluşu, elde edilen sonucu hızlıca test etmeye yardımcı olur.
- Yanlış Yorumlara Dikkat: Soru “25. günün sonunda” diyor ancak genellikle bu ifadeyle günlük kâr kastedilir (toplam kâr istense “toplam kâr” gibi bir ifade geçerdi). Seçeneklerden de net bir şekilde günlük kâr olduğu anlaşılıyor.
Genişletilmiş Bir Bakış: Toplam Kâr Olsaydı?
Bazı sorularda, “25. günün sonunda toplam kaç birim kâr oluşur?” gibi bir ifade geçebilir. O durumda:
Bu, yine geometrik serinin toplamına götürür:
Fakat bu soruda tek bir günün (25. gün) kârına odaklanıldığı için toplama gerek kalmıyor.
Sıkça Sorulan Sorular
-
Neden ilk gün kârı 25 kez çarpmıyoruz da 24 kez çarpıyoruz?
-
- günde zaten 125 birim kâr var. 2. güne geçince bir kez \frac{5}{4} ile çarpılmış oluyor. 25. güne varmak için 24 adımda çarpma gerçekleşir.
-
-
Sonuç neden üslü ve kesirli bir ifade olarak veriliyor?
- Çünkü büyüme oranı (5/4) bir kesir, ve gün sayısı arttıkça çarpma üst sayısına dönüşüyor. Ayrıca 125’in 5^3 olduğunun bilinmesi, sayısal ifadenin basit üslerle yazılmasını sağlıyor.
-
Bu kâr ileride çok mu büyüyecek?
- Evet. Her gün %25 (1/4) artış önemli bir orandır ve kârı hızlı şekilde katlayarak büyütür.
-
4^{24} nasıl 2^{48} ediyor?
- 4 = 2^2 olduğundan, (2^2)^{24} = 2^{2 \times 24} = 2^{48}.
Bağlamsal Önemi ve Günlük Hayatta Benzer Durumlar
- Faiz Hesapları (Bileşik Faiz): Bankadaki bir miktar paranın her ay belli oranda artış göstermesi geometrik diziye benzer.
- Biyolojik Büyüme (Popülasyon): Her üreme döngüsünde popülasyon sabit bir oranda artarsa benzer modelleme yapılır.
- Yatırım Kazançları: Borsa veya yatırımlarda düzenli sabit orana yakın kazançlar, benzer şekilde günlük/aylık olarak bir önceki miktara çarpanla eklenebilir.
Bu tip konuların hepsi, problemdeki artış modeline (geometrik artış) güzel örnekler oluşturur.
Daha Derin Matematiksel Arka Plan
Geometrik diziler ve geometrik seriler, matematik eğitiminde önemli bir konudur. Aşağıda geometrik dizilerle ilgili kısa bir matematiksel not bulabilirsiniz:
-
Geometrik Dizi: a, ar, ar^2, ar^3, \dots
-
Ortak Çarpan (Common Ratio): r
-
n. terimin formülü:
a_n = a \cdot r^{n-1} -
Seri Toplamı (sonlu):
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = a \frac{r^n - 1}{r - 1}, \quad r \neq 1.
Bu problemde r= \frac{5}{4} \; (>1), dolayısıyla değerler artarak gider.
Detaylı Hesaplamalar İçin Ek Örnek İşlemler
Özellikle 2. günü ve 3. günü el ile hesaplamak isteyen öğrenciler için:
- Gün:
- Gün:
- Gün:
Ancak zaten K_2 = 125 \times \frac{5}{4} olduğundan:
- Gün:
Her gün bu şekilde devam ettiğinde, 25. gün formülünün doğruluğunu teyit etmiş oluruz.
Sonucun Yaklaşık Değeri
İstenirse K_{25} = \frac{5^{27}}{2^{48}} sayısının yaklaşık ondalık değerini de hesaplayabilirsiniz. Ancak bu değer çok büyüktür ve tam değeri hesaplamak pratik olmayabilir. Yaklaşık karşılaştırma yapmak için logaritma tekniği veya bilgisayar yardımı kullanılabilir. Soruda ise net üslü biçimi tercih ediliyor.
Ek Açıklama: Neden Seçeneklerde Bu Şekilde Verilmiş?
- 5^{27}, 5^{28}, 5^{47} gibi üstlü ifadeler, sayıyı çarpanlarına ayırıp düzenlemeye dayalıdır.
- 2^{25}, 2^{28}, 2^{48} gibi ifadeler, 4^{12}, 4^{14}, 4^{24} gibi farklı gösterimlerle de ilişkilidir.
- Sınavlarda veya testlerde bu tür “yanılma tuzakları” bulunur. Örneğin, 5^{28}/2^{25} yerine 5^{27}/2^{48} seçeneğinin bulunduğuna dikkat etmek gerekir.
Ana Sonuç ve Doğru Seçeneğin Gerekçesi
Bu problemde 25. günün kârını bulunduğumuzda:
- Matematiksel Model: K_{25} = 125 \left(\frac{5}{4}\right)^{24}.
- Üslerin Düzenlenmesi: 125 = 5^3 ve \left(\frac{5}{4}\right)^{24} = \frac{5^{24}}{4^{24}} = \frac{5^{24}}{2^{48}}.
- Sonuç:K_{25} = 5^3 \times \frac{5^{24}}{2^{48}} = \frac{5^{27}}{2^{48}}.
- Seçenek Analizi: Bu gösterim A seçeneği ile birebir uyum gösterir.
Dolayısıyla, doğru cevap: A) \frac{5^{27}}{2^{48}}.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, problem çözümünde öne çıkan adımları ve aritmetik işlemleri özet halinde görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. İlk gün kârı (K_1) | - | 125 (yani 5^3) |
| 2. Her gün artış oranı | Önceki gün kârının $1/4$’ü eklenir → Toplam \frac{5}{4} kat | r = \frac{5}{4} |
| 3. 25. gün genel formülü | K_{25} = K_1 \left(\frac{5}{4}\right)^{24} | K_{25} = 125 \left(\frac{5}{4}\right)^{24} |
| 4. Üslü biçimde yazma | 125 = 5^3, \left(\frac{5}{4}\right)^{24} = \frac{5^{24}}{4^{24}} | = \frac{5^{27}}{4^{24}} |
| 5. $4^{24}$’ü 2 tabanına dönüştürme | 4^{24} = (2^2)^{24} = 2^{48} | = \frac{5^{27}}{2^{48}} |
| 6. Sonuç | \frac{5^{27}}{2^{48}} | Seçenek A |
Son Söz ve Kısa Özet
- Problem, geometrik bir artış sorusudur.
- İlk gün 125 birim kâr elde edildikten sonra, kâr her gün %25 (yani 1/4) kadar artar.
-
- günün kârı ise, ilk gün kârının (\frac{5}{4})^{24} katı şeklinde hesaplanır.
- Sonuç, 125 \times (\frac{5}{4})^{24} = \frac{5^{27}}{2^{48}} çıkmaktadır.
- Çoktan seçmeli soruda bu değer A seçeneğine denk geldiğinden doğru cevap odur.
Bu tür sorular, “bir önceki değerin belli bir yüzdesi kadar artış” şeklindeki problemlerde geometrik dizi yaklaşımını kullanmanın ne kadar etkili olduğunu gösterir.
@sorumatikbot