01ayttya3141592653

YKS TYT
1

@sorumatikbot

19
19625×478 28.6 KB

2

Sorunun Çözümü:

Verilenler:

  1. P(x) bir polinom olarak tanımlanmış.
  2. P(4x) polinomunun baş katsayısı -256 .
  3. 2 \cdot P^2(x) polinomunun derecesi 8 'dir.

Soruda, P(x) polinomunun baş katsayısı soruluyor.

Adım Adım Çözüm:

1. Derece İlişkisi:

  • P(x) polinomunun derecesini belirtelim: n .
  • P(4x) polinomu bir değişken değiştirme sonucunda oluşur. Derecesi n 'dir, çünkü P(x) 'nin derecesi değişmez.
  • P^2(x) polinomunun derecesi ise: n 'nin karesi alınır, dolayısıyla derecesi 2n 'dir.
  • Verilen 2 \cdot P^2(x) polinomunun derecesi 8 olduğundan:
    2n = 8 \implies n = 4
    Bu durumda P(x) polinomunun derecesi n = 4 olarak bulunur.

2. Baş Katsayı İlişkisi:

  • Baş katsayı bir polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısıdır.
  • P(4x) için: Değişkende x yerine 4x yazıldığında;
    • Polinomun derecesi değişmez ( n = 4 ).
    • Ancak baş katsayı 4^n faktörü ile çarpılır. Çünkü her terimde x yerine 4x yazıldığında katsayılar değişir.

Baş katsayı bağıntısı:

\text{Baş katsayı} \cdot (4^n) = -256

Bu durumda:

a \cdot (4^4) = -256

Buradan 4^4 'ü bulalım:

4^4 = 256

Dolayısıyla denklem:

a \cdot 256 = -256 \implies a = -1

Sonuç:

P(x) polinomunun baş katsayısı -1 'dir.

Doğru Cevap: E) -1

Eğer başka bir sorunuz varsa çekinmeden sorabilirsiniz! @sorumatikbot

3

P(x) polinomunun derecesiyle başlayalım:

2·P²(x) polinomunun derecesi 8 olarak verilmiş. Bir polinomun derecesini incelersek:
• P(x) polinomu 4. dereceden olsun: eğer deg(P(x)) = 4 ise,
• P²(x) = [P(x)]² polinomunun derecesi 2·4 = 8 olur,
• Dolayısıyla 2·P²(x) ifadesinin derecesi de aynı şekilde 8 olur (çünkü bir sabitle çarpmak derecesi değiştirmez).

Bu bilgi bize P(x)’in derecesinin 4 olduğunu gösterir.

Başkatsayıyı bulmak için:

Genel biçimiyle 4. dereceden bir polinomu

P(x) = a x^4 + \text{(daha düşük dereceli terimler)}

şeklinde yazabiliriz.

P(4x) yazıldığında bu polinomun öncül (baştaki) terimi

a \cdot (4x)^4 = a \cdot 4^4 \cdot x^4 = a \cdot 256 \cdot x^4

olur. Bu ifadenin başkatsayısı a·256’dır.

Soruya göre:

P(4x) polinomunun başkatsayısı = –256

Yani:

a · 256 = –256

Buradan a = –256 / 256 = –1 bulunur.

Dolayısıyla P(x) polinomunun başkatsayısı –1’dir.

Özet Tablo

Bilgi Açıklama
2·P²(x) in derecesi (8) deg(P²(x)) = 2·deg(P(x)) ⇒ 2·deg(P(x)) = 8 ⇒ deg(P(x)) = 4
P(x) genel formu (4. derece) P(x) = a x^4 + …
P(4x) başkatsayısı verilmiş (-256) a·(4^4) = a·256 = -256 ⇒ a = -1
P(x) başkatsayısı nedir? a = -1

Cevap: –1

@username

4

P(x) polinomu ile ilgili soru:

Soru:
P(x) bir polinom olmak üzere, P(4x) polinomunun başkatsayısı –256’dır. Ayrıca 2·P²(x) polinomunun derecesi 8’dir. Buna göre, P(x) polinomunun başkatsayısı kaçtır?

A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1

Cevap ve Açıklama:

  1. 2·P²(x) polinomunun derecesi 8 olduğuna göre, P²(x) polinomunun derecesi 8’dir.

    • Bir polinomun karesi, dereceyi iki katına çıkarır. Yani eğer deg(P(x)) = d ise deg(P²(x)) = 2d olur.
    • 2·P²(x) ifadesinin derecesi P²(x) ile aynıdır (başına sadece sabit bir çarpan geldiği için derece değişmez).
    • Dolayısıyla 2·P²(x) in derecesi 8 ise P(x)’in derecesi d = 8 ÷ 2 = 4’tür.

  2. P(x) dördüncü dereceden bir polinom olsun:

    • Başkatsayısını a kabul edersek;
      P(x) = a·x⁴ + (diğer terimler).

  3. P(4x) polinomunun başkatsayısını bulmak:

    • P(4x) = a·(4x)⁴ + … = a·4⁴·x⁴ + … = a·256·x⁴ + …
    • Dolayısıyla P(4x) polinomunun başkatsayısı a·256’dır.

  4. P(4x) polinomunun başkatsayısı –256 olarak verildiğine göre:
    a·256 = –256 ⇒ a = –256 / 256 ⇒ a = –1.

Bu nedenle, P(x) polinomunun başkatsayısı a = –1’dir. Seçeneklerde bu değer (E) –1 olarak verilmiştir.

@username