Question:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları birbirinden farklı doğal sayılar yazılacaktır. Bu elemanlarla yazılan doğal sayılardan 1 rakamının 2 rakamının sağında bulunduğu beş basamaklı sayılar B kümesini; 5 rakamının 6 rakamının solunda bulunduğu dört basamaklı sayılar C kümesini oluşturmaktadır. Buna göre s(B) + s(C) kaçtır?
Solution:
Step 1: Calculate Size of Set B (s(B))
For set B, we are tasked with finding 5-digit numbers formed by using the elements of the set A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, where:
“1 is to the left of 2.”
Total Number of 5-Digit Permutations Using A:
The total permutations of 5 digits from the 6 elements of A is calculated as:
Applying the Condition “1 is Left of 2”:
Within these 720 total numbers, 1 and 2 are fixed as two distinct elements. Consider their relative positions in any 5-digit number:
- When we arrange 1 to the left of 2, exactly half of the arrangements satisfy the condition.
Thus:
Step 2: Calculate Size of Set C (s(C))
For set C, we are tasked with finding 4-digit numbers formed by using the elements of the set A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, where:
“5 is to the left of 6.”
Total Number of 4-Digit Permutations Using A:
The total permutations of 4 digits from the 6 elements of A is calculated as:
Applying the Condition “5 is Left of 6”:
Similar to Set B, when we arrange 5 to the left of 6, exactly half of these permutations satisfy the condition.
Thus:
Step 3: Final Answer
Adding the sizes of set B and set C:
Final Solution:
The correct answer is: None of the options listed matches the calculated answer 540. This may indicate an error in the problem setting or options provided. Double-check or provide clarification.
Let me know if you’d like to dive deeper into this solution! 
@sorumatikbot
Soru:
A = {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile rakamları birbirinden farklı doğal sayılar yazılacaktır. Bu elemanlarla yazılan doğal sayılardan 1 rakamının 2 rakamının sağında bulunduğu beş basamaklı sayılar B kümesini; 5 rakamının 6 rakamının solunda bulunduğu dört basamaklı sayılar C kümesini oluşturmaktadır. Buna göre, s(B) + s(C) kaçtır?
Cevap:
B Kümesi (1 rakamının 2 rakamının sağında bulunduğu 5 basamaklı sayılar)
-
5 basamaklı sayı yazmak için A kümesinden (1,2,3,4,5,6) 5 farklı rakam seçilir ve seçilen bu rakamlar yan yana dizilerek bir sayı oluşturulur. Toplamda 6 rakamdan 5’ini seçeceğimiz için normalde 6P5 = 6! / 1! = 720 tane 5 basamaklı sayı vardır.
-
Ancak B kümesinde, 1 ve 2 rakamlarının mutlaka bulunması ve “1 rakamının 2’nin sağında” olması gerekir. Bu nedenle 1 ve 2’yi kesin alıp, geriye kalan {3,4,5,6} kümesinden 3 rakam seçmemiz gerekir.
- Geriye kalan 4 rakamdan 3’ünü seçme sayısı C(4,3) = 4’tür.
-
Her seçtiğimiz 5 rakamı 5! = 120 farklı şekilde dizebiliriz. Bu 120 dizilimden tam yarısında “1, 2’nin sağında” olacaktır (çünkü 1 ile 2’nin yer değiştirmesiyle sayının konumu yarı yarıya bölünür). Yani her seçilen 5’li küme için 120/2 = 60 uygun dizilim vardır.
-
Toplamda 4 farklı 5’li rakam grubu olduğu için
B kümesindeki eleman sayısı = 4 × 60 = 240.
C Kümesi (5 rakamının 6 rakamının solunda bulunduğu 4 basamaklı sayılar)
-
4 basamaklı sayı elde etmek için yine A kümesinden 4 farklı rakam seçilir. Normalde 6P4 = 6! / 2! = 360 tane 4 basamaklı sayı olduğu halde, C’de özel bir koşul vardır: 5 ve 6 mutlaka kullanılmalı ve “5, 6’nın solunda” olmalıdır.
-
Bu yüzden kesin olarak 5 ve 6’yı alıp, geriye kalan {1,2,3,4} kümesinden 2 rakam seçeriz.
- Geriye kalan 4 rakamın 2’sini seçme sayısı C(4,2) = 6’dır.
-
Her seçtiğimiz 4 rakam için 4! = 24 dizilim mümkündür. Bunların yarısında “5, 6’nın solunda” bulunur. Dolayısıyla uygun dizilim sayısı 24/2 = 12’dir.
-
Seçilebilecek 6 farklı 4’lü grup olduğundan
C kümesindeki eleman sayısı = 6 × 12 = 72.
s(B) + s(C) Hesabı
| Küme | Koşul | Eleman Sayısı |
|---|---|---|
| B | 5 basamaklı + “1, 2’nin sağında” | 240 |
| C | 4 basamaklı + “5, 6’nın solunda” | 72 |
| Toplam | – | 312 |
Böylece s(B) + s(C) = 240 + 72 = 312 bulunur.
Doğru Seçenek: A) 312
@username
A = {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarıyla oluşturulan B ve C kümelerini nasıl sayarız?
Soru Özeti:
• B: 5 basamaklı, rakamları birbirinden farklı sayılarda “1” ve “2” mutlaka bulunacak ve “1”, “2”nin sağına (yani soldan sağa dizilimde 2’den sonra) yerleşecek.
• C: 4 basamaklı, rakamları birbirinden farklı sayılarda “5” ve “6” mutlaka bulunacak ve “5”, “6”nın soluna (yani soldan sağa dizilimde 6’dan önce) yerleşecek.
• İstenen: s(B) + s(C).
1) B kümesinin eleman sayısı, s(B)
- 5 basamaklı sayılar oluşturulacaktır ve 1 ile 2 rakamları mutlaka kullanılacaktır.
- A kümesinde toplam 6 rakam var: {1,2,3,4,5,6}. 5 basamaklı bir sayı için bu 6 rakamdan 5’ini seçeceğiz. Ancak 1 ve 2’nin alınması zorunlu olduğundan, geriye kalan {3,4,5,6} arasından hangi 1 rakamı hariç bırakacağımızı seçiyoruz.
- {3,4,5,6} içinden 1 tane rakamı çıkarmanın 4 farklı yolu vardır.
• Her seçimde (1 ve 2 dâhil toplam 5 rakam) 5 basamaklı bir sayı oluşur. Seçilen 5 rakamın tümü farklı olacağı için 5! = 120 farklı permütasyon elde ederiz.
• Bu 120 permütasyonun tam yarısında “1”, “2”nin sağında (yani dizilimde 2 solda, 1 ise ondan daha sağda) bulunur. Çünkü 1 ile 2’nin yer değiştirmesi simetriktir. Dolayısıyla her 5’li seçime karşılık 120 / 2 = 60 uygun sıra vardır.
Dolayısıyla:
s(B) = 4 (seçim) × 60 (her bir için 1 sağda sayısı) = 240.
2) C kümesinin eleman sayısı, s(C)
- 4 basamaklı sayılar oluşturulacak ve 5 ile 6 rakamları mutlaka kullanılacaktır.
- A = {1,2,3,4,5,6} kümesinde 4 basamaklı sayı yazarken, 5 ve 6 zaten alınıyor. Geriye kalan {1,2,3,4}’ten 2 tane daha rakam seçmemiz gerekiyor.
- {1,2,3,4} arasından 2 rakam seçmenin \binom{4}{2} = 6 yolu vardır.
• Böylece her seçimde belirlenen 4 farklı rakamı 4 basamaklı bir sayıya 4! = 24 farklı şekilde dizebiliriz.
• Bu 24 dizilimin tam yarısında “5”, “6”nın solunda (yani soldan sağa dizilimde 5, 6’dan daha önde) yer alır. Bu da 24 / 2 = 12 dizilim demektir.
Dolayısıyla:
s(C) = 6 (seçim) × 12 (her seçimdeki uygun dizilim) = 72.
3) Toplam s(B) + s(C)
Buna göre,
s(B) + s(C) = 240 + 72 = 312.
Yukarıdaki adımları dikkate aldığımızda doğru cevap, verilen şıklara göre 312’dir.
@username