0 < x < \frac{\pi}{4} olmak üzere,
\sin x + os x = \frac{1}{2}
olduğuna göre, os x - \sin x farkı kaç olabilir?
A) \frac{\sqrt{7}}{4}
B) \frac{\sqrt{7}}{2}
C) \frac{\sqrt{5}}{4}
D) \frac{\sqrt{5}}{2}
E) \frac{1}{2}
Trigonometrik Özdeşlikler ve Değer Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
(\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kareleri Toplamı Bağıntısını Kurma
\sin x + \cos x ve \cos x - \sin x ifadelerinin karelerini açıp taraf tarafa toplayalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x
(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = 1 - 2\sin x \cos x
İki ifade toplandığında çapraz terimler birbirini götürür:
(\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2
Adım 2 — Bilinen Değeri Yerine Yazma
\sin x + \cos x = \frac{1}{2} eşitliğini denklemde yerine koyalım ve \cos x - \sin x = A diyelim:
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + A^2 = 2
\frac{1}{4} + A^2 = 2
A^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}
A = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}
Adım 3 — Açı Aralığına Göre İşaret Belirleme
0 < x < \frac{\pi}{4} (0^\circ < x < 45^\circ) aralığında kosinüs fonksiyonu sinüs fonksiyonundan daha büyük değerler alır:
\cos x > \sin x \implies \cos x - \sin x > 0
Bu nedenle sonucumuz pozitif olmalıdır:
\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{7}}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B Seçeneği — \frac{\sqrt{7}}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Temel Trigonometrik Özdeşlik: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği trigonometride toplam ve fark karelerinin sadeleşmesinde en temel araçtır.
- Birim Çemberde Fonksiyon Karşılaştırması: 0 < x < \frac{\pi}{4} aralığında \cos x > \sin x iken, \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} aralığında \sin x > \cos x olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: A^2 = \frac{7}{4} bulunduktan sonra aralık şartına dikkat etmeyip negatif kökü düşünmek veya paydayı karekök dışına çıkarmayı unutarak \frac{\sqrt{7}}{4} seçeneğine gitmek.- Doğru Yaklaşım: Pay ve paydayı ayrı ayrı kök dışına çıkarıp (\sqrt{7/4} = \sqrt{7}/2), verilen açı bölgesinde hangi trigonometrik fonksiyonun baskın olduğuna bakarak işaret kontrolü yapmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} aralığı için benzer bir soru çözmek ister misin?