0 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere
şc x dot ot x dot (1 - os x) = \frac{2}{5}
eşitliği veriliyor.
Buna göre sec x değeri kaçtır?
A) \frac{4}{3}
B) \frac{3}{2}
C) \frac{5}{3}
D) 2
E) \frac{5}{2}
Trigonometrik Özdeşlikler ve Sadeleştirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Temel trigonometrik özdeşliklerde \csc x = \frac{1}{\sin x}, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} ve \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) eşitlikleri kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İfadeleri Sinüs ve Kosinüs Cinsinden Yazma
Verilen \csc x \cdot \cot x \cdot (1 - \cos x) = \frac{2}{5} denkleminde \csc x ve \cot x yerine eşiti olan trigonometrik oranları yazalım:
\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (1 - \cos x) = \frac{\cos x (1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{2}{5}
Adım 2 — İki Kare Farkı ile Sadeleştirme Yapma
Paydadaki \sin^2 x yerine (1 - \cos^2 x) = (1 - \cos x)(1 + \cos x) özdeşliği yazılarak 1 - \cos x terimleri sadeleştirilir (0 < x < \frac{\pi}{2} olduğundan \cos x \neq 1):
\frac{\cos x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} = \frac{2}{5}
Adım 3 — İçler Dışlar Çarpımı ve \sec x Değerini Bulma
Oluşan birinci dereceden denklemden \cos x değerini çekelim:
5\cos x = 2(1 + \cos x) \implies 3\cos x = 2 \implies \cos x = \frac{2}{3}
Sekant fonksiyonu kosinüsün çarpmaya göre tersi (\sec x = \frac{1}{\cos x}) olduğundan:
\sec x = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}
CEVAP: B) \frac{3}{2} (\sec x = \frac{3}{2})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Pay ve paydada (1 - \cos x) çarpanı görüldüğünde \sin^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) dönüşümünü kullanmak, yarım açı formüllerine girmeden en hızlı sonuca ulaştırır.